第1章 §1.8函数的连续性与间断点 燕列雅权豫西王兰芳李琪
§ 1.8 函数的连续性与间断点 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪 第1章
函数连续性的定义 定义1:设函数y=f(x)在x的某邻域内有定义,且 limf(x)=f(x),则称函数f(x)在x连续否则就 x->x0 说函数f(x)在x是间断的 可见,函数f(x)在点x连续必须具备下列条件: (1)f(x)在点x0有定义,即f(x)存在; (2)极限imf(x)存在; x→)x 0 (3)lim f(x)=f(xo) x→>x 0
可见 , 函数 f (x) 在点 0 x 一、 函数连续性的定义 定义1: y = f (x) 在 的某邻域内有定义 , lim ( ) ( ), 0 0 f x f x x x = → 则称函数 0 f x x ( )在 (1) f (x) 在点 0 x 即 ( ) 0 f x (2) 极限 lim ( ) 0 f x x→x (3) lim ( ) ( ). 0 0 f x f x x x = → 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ; 连续. 否则就 说函数 0 f x x ( )在 是间断的
对自变量的增量△x=x-x0,有函数的增量 △y=f(x)-f(x0)=f(x0+△x)-f(x0) 函数f(x)在点x连续有下列等价命题: lim f(x)=f(ro) lim f(xo+Ax)=f(ro) x→>x0 △x->0 ←lim△y=0 yy=f(xy △x→>0 △ f(x0-0)=f(x0)=f(x+0) 左连续右连续x V>0,36>0,当x-x0=4x<6时,有 f(x)-f(x)=△y|<6
对自变量的增量 , 0 x = x − x 有函数的增量 ( ) ( ) 0 y = f x − f x ( ) ( ) 0 0 = f x + x − f x y = f (x) o x y 0 x x x y lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim ( ) ( ) 0 0 0 f x x f x x + = → lim 0 0 = → y x 0 0 0 f x f x f x ( 0) ( ) ( 0) − = = + 左连续 右连续 0, 0, 当 x − x0 = x 时, 有 f (x) − f (x ) = y 0 函数 0 f (x) 在点 x 连续有下列等价命题:
例1考察下列函数在点x=0的连续性 SInx SInx ,x≠0 (1)f(x) ,x≠0(2)f(x)= xX x0 x=0 SInx (3)f(x)={x x≠0 x=0 解(1)因f(x)在x=0无定义,所以f(x)在x=0 不连续 (2)f(x)在x=0虽然有定义,但是f(0)=0与/f(x)在该 点的极限m=1不相同,所以(x在x=不连续 DX (3)由定义,由于imf(x)=imx=1=f(0),所以f(x) 0 x→>0x 在x=0处连续
, 0 x f x x = sin ( ) x sin 0 ( ) 0 0 x x f x = x x = ， ， sinx x f x x x ， ≠0 ( ) = 1， = 0 例1 考察下列函数在点 x = 0 的连续性． (1) (2) (3) 解 (1)因 f x( ) 在 x = 0 无定义，所以 f x( ) 在 x = 0 不连续． (2) f x( ) 在 x = 0 虽然有定义,但是 不相同，所以 f x( ) 在 x = 0 不连续. f x( ) 在 x = 0处连续． (3) 由定义，由于 点的极限 0 sin lim 1 x x → x = f (0) 0 = 与 f x( ) 在该 0 0 sin lim ( )=lim 1 (0) , x x x f x f → → x = = 所以
例2试证函数/()=x5xx≠0在x=0处连续 0 =0 证 lim x sin=0,又f(0)=0 x→>0 lim f(x)=f(o), x->0 由定义1知函数f(x)在x=0处连续 定义2若f(x在某区间上每一点都连续,则称它 在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数 在闭区间[a,b上的连续函数的集合记作C[a,b]
例2 1 sin , 0, ( ) 0 0, 0, x x f x x x x = = = 在 证 0 1 lim sin 0, x x → x = 又 f (0) 0, = 由定义1知, f x x ( ) 0 在 = 0 lim ( ) (0), x f x f → = 试证函数 处连续. 函数 处连续. 若 f (x) 在某区间上每一点都连续 , 则称它 上连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . 在闭区间[a , b]上的连续函数的集合记作C[a, b]. 在该区间 定义2
、函数的间断点 函数f(x)在点x处连续必须满足的三个条件: (1)f(x)在点x0处有定义 (2)limf(x)存在; x→x 0 (3)lim f(x)=f(ro) x→x0 如果上述三个条件中只要有一个不满足则称 函数f(x)在点x0处不连续(或间断,并称点x为 f(x)的不连续点或间断点
二、函数的间断点 ( ) : 函 数 f x 在 点x0处连续必须满足的三个条 件 (1) ( ) ; f x 在点x0处有定义 (2) lim ( ) ; 0 f x 存在 x→x (3) lim ( ) ( ). 0 0 f x f x x x = → ( ) ( ). ( ) ( ), , 0 0 的不连续点 或间断点 函 数 在 点 处不连续 或间断 并称点 为 如果上述三个条件中只要有一个不满足 则 称 f x f x x x
1跳跃间断点如果∫(x)在点x处左,右极限都 存在但f(x-0)≠f(xn+0),则称点x为函数 f(x)的跳跃间断点 x,x≤0 例3讨论函数f(x)=1+x,x>0, 在x=0处的连续性 解f(0-0)=0,f(0+0)=1, f(0-0)≠f(0+0), ∴x=0为函数的跳跃间断点
1.跳跃间断点 ( ) . , ( 0) ( 0), ( ) , 0 0 0 0 的跳跃间断点 存 在 但 则称点 为函数 如 果 在 点 处 左 右极限都 f x f x f x x f x x − + 例3 0 . 1 , 0, , 0, 讨论函数 ( ) 在 = 处的连续性 + − = x x x x x f x 解 f (0 − 0) = 0, f (0 + 0) = 1, f (0 − 0) f (0 + 0), x = 0为函数的跳跃间断点. o x y
2可去间断点如果f(x)在点x处的极限存在, 但imf(x)=A≠f(x,或f(x)在点x处无定 x→>x0 义则称点x为函数f(x)可去间断点 例4讨论函数 2 X f(x)= 在x=1处的连续性 x
2.可去间断点 例4 2 1 ( ) 1 1 . x f x x x − = − = 讨论函数 在 处的连续性 ( ) . lim ( ) ( ), ( ) ( ) , 0 0 0 0 0 义则称点 为函数 的可去间断点 但 或 在 点 处无定 如 果 在 点 处的极限存在 x f x f x A f x f x x f x x x x = → o x y 1 1 2
注意可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义,则可使其变为连续点 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点 特点函数在点x处的左、右极限都存在
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 . 函数在点x0处的左、右极限都存在 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点
3第二类间断点如果f(x)在点x处的左、 右极限至少有一个不存在,则称点x为函数 f(x)的第二类间断点
3.第二类间断点 ( ) . , ( ) 0 0 的第二类间断点 右极限至少有一个不存在 则称点 为函数 如果 在点 处的左、 f x x f x x
