第七节、高阶线性微分方程 教学目的:掌握二阶线性方程解的结构,齐次线性方程的通解,非齐线性方 程的特解及通解的形式 教学重点:齐次线性方程的通解,非齐线性方程的特解及通解的形式 教学难点:齐次线性方程的通解,非齐线性方程的特解及通解的形式。 教学内容 定义 一个n阶微分方程,如果其中的未知函数及其各阶导数都是一次的,则它叫做n阶线性 微分方程,简称n阶线性方程 特殊地,当=2时:方程ax2+P(x)4+(y=f(x) (1)称为二阶线性微分方 程 当f(x)=0时称为齐次的 当∫(x)≠0时称为非齐次的 为求解方程(1)需讨论其解的性质及结构 、线性微分方程解的结构 +P(x)+g(x)y=0 1.对于二阶齐次线性微分方程 (2) 定理1、若n(x)y2(x)是(2)的解,则y=C11(x)+C2y2(x)也是(2)的解, 其中C1,C2为任意常数 称性质1为解的叠加原理 但此解未必是通解,若1(x)=3y2(x),则1(x)=(C2+3C1)y2(x),那么 Cw1(x)+C22(x)何时成为通解?只有当片与y线性无关时 2线性相关设,y2.…,y是定义在区间l内的函数,若存在不全为零的数 Ku.K2 使得k+k22+…+k》=0恒成立,则称乃1,y2.…,y2线性相关。 线性无关不是线性相关。 如:1,cos2x,sin2x线性相关, 1x,x2线性无关。 对两个函数,当它们的比值为常数时,此二函数线性相关。若它们的比值是函数 时,线性无关 定理2、若1(x),y2(x)是(2)的两个线性无关的特解,那么 C1,C2为任意常数)是方程(2)的通解
第七节、高阶线性微分方程 教学目的：掌握二阶线性方程解的结构，齐次线性方程的通解，非齐线性方 程的特解及通解的形式。 教学重点：齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式。 教学难点：齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式。 教学内容： 一、定义 一个 阶微分方程，如果其中的未知函数及其各阶导数都是一次的，则它叫做 阶线性 微分方程，简称 阶线性方程。 特殊地，当 =2时：方程 (1) 称为二阶线性微分方 程。 当 时称为齐次的， 当 时称为非齐次的。 为求解方程（1）需讨论其解的性质及结构 二、线性微分方程解的结构 .1. 对于二阶齐次线性微分方程： （2） 定理1、 若 是（2）的解，则 也是（2）的解， 其中 ， 为任意常数。 称性质1为解的叠加原理。 但此解未必是通解，若 ，则 ，那么 何时成为通解？只有当 与 线性无关时。 2. 线性相关 设 是定义在区间 内的函数，若存在不全为零的数 使得 恒成立，则称 线性相关。 线性无关不是线性相关。 如： 线性相关， 线性无关。 对两个函数，当它们的比值为常数时，此二函数线性相关。若它们的比值是函数 时，线性无关。 定理2、 若 是（2）的两个线性无关的特解，那么 （ ， 为任意常数）是方程（2）的通解
此性质称为二阶齐次线性微分方程(2)的通解结构 CgX≠ 如:=C05x,y2=1x是y+y=0的两个解,又y 常数。因此 y=C1osx+C2sinx为y"+y=0的通解。 (x-1)y"-xy+y=0的解y=x,y2=e亦线性无关。 则y=C1x+C2为其通解 下面讨论非齐次微分方程(1)的解的性质称(2)为(1)所对应的齐次方程。 定理3、设y*是(1)的特解,Y是(2)的通解,则y=2+y*是(1)的通 如:y“+y=x2,y=C1cosx+C2simx为y+y=0的通解,又y*=x2-2是 特解,则y=G1cox+C2sinx的通解 定理4、设(5)式中f(x)=五(x)+(x),若1米,y2*分别是 a)+P(xg+g(xy=c i'y+p(x) dx )-+g(x)y=2(x) 的特解,则η。十y2为原方程的特解 称此性质为解的叠加原理
此性质称为二阶齐次线性微分方程（2）的通解结构。 如： 是 的两个解，又 常数。因此， 为 的通解。 又 的解 亦线性无关。 则 为其通解。 下面讨论非齐次微分方程（1）的解的性质.称（2）为（1）所对应的齐次方程。 定理3、 设 是（1）的特解， 是（2）的通解，则 是（1）的通 解。 如： ， 为 的通解，又 是 特解，则 的通解。 定理4 、 设（5）式中 ，若 分别是 ， 的特解，则 为原方程的特解。 称此性质为解的叠加原理