第1章 §1.1映射与函数 燕列雅权豫西王兰芳李琪
§1.1 映射与函数 第1章 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪
数学中的转折点是笛卡儿的变数,有了变数,运动进入 了数学;有了变数,辩证法进入了数学;有了变数,微分 和积分也就立刻成为必要的了 恩格斯 函数概念的形成与发展 二、函数的概念 三、初等函数
数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入 了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分 和积分也就立刻成为必要的了. 恩格斯 一、 函数概念的形成与发展 二、 函数的概念 三、 初等函数
、函数概念的形成与发展 在封建社会里,由于生产力水平不高,人们对数学 的需要停留在常量数学范围内,到了16、17世纪 社会多方面的需求需要人们对各种“运动”进行研究 这就为函数概念的产生提供了客观上的基础。 17世纪末,莱布尼兹首先用了“ function”一 词.不过,当时这个词是用来表示“幂”、“坐标 以及“切线长”等概念,意义含糊 1718年,达朗贝尔给函数下的定义是:“所谓变 量的函数,就是指由这些变量和常量所组成的解析表 达式
一、函数概念的形成与发展 在封建社会里，由于生产力水平不高，人们对数学 的需要停留在常量数学范围内，到了16、17世纪， 社会多方面的需求需要人们对各种“运动”进行研究， 这就为函数概念的产生提供了客观上的基础。 17世纪末，莱布尼兹首先用了“function”一 词．不过，当时这个词是用来表示“幂” 、 “坐标” 以及“切线长”等概念，意义含糊． 1718年，达朗贝尔给函数下的定义是： “所谓变 量的函数，就是指由这些变量和常量所组成的解析表 达式” ．
1748年,欧拉又给出函数的定义:“函数就是 条随意可以描画的曲线 19世纪,人们对函数概念的认识飞跃到一个新的 阶段,这就是建立了变量与函数之间的对应关系, 因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部 分。 上世纪20年代,又产生了新的现代函数定义: 若对集合M的任意元素x,总有集合N上确定的元 素y与之对应,则称在集合M上定义了一个函数 记为y=f(x)元素称为自变元,元素称为因变
19世纪，人们对函数概念的认识飞跃到一个新的 阶段，这就是建立了变量与函数之间的对应关系， 因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部 分。 1748年，欧拉又给出函数的定义： “函数就是 一条随意可以描画的曲线” ． 上世纪20年代，又产生了新的现代函数定义： “若对集合M的任意元素 ,总有集合N上确定的元 素 与之对应，则称在集合M上定义了一个函数， 记为 ，元素 称为自变元，元素 称为因变 元。 ” x y y = f (x) x y
新的函数定义与老的函数定义从形式上看 只相差几个字,如把“数”改为“元素”,讨论的 积象数的范围”进入到“一般集合但实质上并机几 字之差,而是概念上的重大发展,是数学发展道路 上的重大转折,近代的“泛函分析”可以作为这种转 折的标志,它研究的是一般集合上的函数关系,根 据近代函数定义,我们可以说,线段的长度是线段 的函数,在这里自变元是线段,因变元是数.至此, 函数的概念就更加一般化了
新的函数定义与老的函数定义从形式上看， 只相差几个字，如把“数”改为“元素”，讨论的 对象 字之差，而是概念上的重大发展，是数学发展道路 上的重大转折，近代的“泛函分析”可以作为这种转 折的标志，它研究的是一般集合上的函数关系，根 据近代函数定义，我们可以说，线段的长度是线段 的函数，在这里自变元是线段，因变元是数．至此， 函数的概念就更加一般化了． 从“数的范围”进入到“一般集合”．但实质上并非几
二、函数的概念 1函数的定义 定义1设x,y是两个变量,X是的变化范围 F是y的变化范围,f是对应法则.若对X中的每个 A值,依据对应法则厂,Y中有唯一确定的值与之 对应,则称对应法则f是定义在X上的函数,记作 (Q或f:x-y,x∈X 因变量「自变量 定义城 八(x)是x处的函数值,函数值的全体(是Y的 个子集)称做函数的值域
二、函数的概念 定义1 设x, y是两个变量，X是x的变化范围． Y是y的变化范围，f 是对应法则．若对X中的每个 x值，依据对应法则f ，Y中有唯一确定的值y与之 对应，则称对应法则f 是定义在X上的函数，记作 y = f (x) 或 f x ： y, x X 因变量 自变量 定义域 f(x)是f在x处的函数值，函数值的全体（是Y的一 个子集）称做函数f的值域． 1.函数的定义
说明: 1与初等数学中称因变量y是函数的说法不同, 定义中称对应法则/是函数,这一方式表明, 函数本质是变量之间的对应关系 2定义中并未规定对应法则必须用数学公式 来表现,尽管这是最常用的形式依据定义, 还可以采用曲线、表格,甚至文字等各种方 式表示对应法则 3定义中,对法则的一个基本要求是它必须 能以确定的方式指定唯一的一个值与x值对 应
说明: 1.与初等数学中称因变量y是函数的说法不同, 定义中称对应法则f 是函数, 这一方式表明, 函数本质是变量之间的对应关系. 2. 定义中,并未规定对应法则f 必须用数学公式 来表现, 尽管这是最常用的形式. 依据定义, 还可以采用曲线、表格，甚至文字等各种方 式表示对应法则. 3. 定义中, 对法则f 的一个基本要求是,它必须 能以确定的方式指定唯一的一个y值与x值对 应
2函数的几种特性 设函数y=f(x),x∈D,且有区间IcD (1)有界性 Vx∈I,3M>0,使f(x)≤M,称f(x)在I上有界 如果这样的M不存在就称函数f(x)在I上无界 如图,有界函数的图形位于两平行于x轴的两条 直线x=+M,x=-M之间 y=fax) x 有界I 无界 M
2. 函数的几种特性 设函数 y = f (x) , xD , 且有区间 I D . (1) 有界性 x I , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x) 在 I 上有界. M -M y x o y=f(x) 有界 I 无界 M -M y o x I 0 x 直线 x =+M，x = – M之间. 如果这样的M不存在,就称函数 f (x) 在 I 上无界. 如图, 有界函数的图形位于两平行于x轴的两条
(2)单调性 Vx1,x2∈,当x1f(x2),称f(x)为Ⅰ上的单调减函数 (3)奇偶性 yx∈D.且有-x∈D 若f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数; 若f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数 说明:若f(x)在x=0有定义,则当x f(x)为奇函数时,必有f(0)=0
x y − x o x (3) 奇偶性 xD, 且有 − xD, 若 f (−x) = f (x), 则称 f (x) 为偶函数; 若 f (−x) = − f (x), 则称 f (x) 为奇函数. 说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , f (x)为奇函数时, f (0) = 0. 则当 必有 (2) 单调性 x1 , x2 I, 当 1 2 x x 时, ( ) ( ), 1 2 若 f x f x 称 f (x) 为 I 上的 ( ) ( ), 1 2 若 f x f x 称 f (x) 为 I 上的 单调增函数. 单调减函数 . x y 1 x 2 x
(4)周期性 Vx∈D,3l>0,且x±/∈D,若 f(x±)=f(x) 则称f(x周期函数称l为周期(一般指最小正周期) f(t 2丌0丌2丌x 2x丌0 丌2丌 周期为兀 周期为2n 注:周期函数不一定存在最小正周期 例如,常函数f(x)=C 狄里克雷函数(x)1,x为有理数 10.x为无理数
(4) 周期性 xD, l 0, 且 x l D, f ( x l) = f (x) 则称 f (x) 为周期函数 , o t f (t) 2 2 − 2 − o x − y − 2 若 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ). 周期为 周期为 2 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常函数 f (x) = C 狄里克雷函数 f (x) = x 为有理数 x 为无理数 1, 0