第3章 s3.5函数的极值与最大值 最小值 燕列雅权豫西王兰芳李琪
§3.5 函数的极值与最大值 最小值 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪 第3章
定义设函数f(x)在区间a,b内有定义,x是 (a,b内的一个点 如果存在着点x的一个邻域对于这邻域内的 任何点x除了点x外,f(x)f(x0)均成立就称 f(x0)是函数f(x)的一个极小值 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点
( ) ( ) . , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) ; , , ( ) ( ) , , ( , ) , ( ) ( , ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 是函数 的一个极小值 任何点 除了点 外 均成立 就 称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 是函数 的一个极大值 任何点 除了点 外 均成立 就 称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 内的一个点 设函数 在区间 内有定义 是 f x f x x x f x f x x f x f x x x f x f x x a b f x a b x 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点
函数极值的判定法 由费马引理可知可导函数的极值点一定是驻点 注意:1)函数的极值是函数的局部性质 2)对常见函数,极值可能出现在驻点或导数 不存在的点 3)函数的最值是函数的全局性质 x1,x4为极大点 x2,xs为极小点 x3不是极值点 oax x2 x3 x4 x5 b
注意: 3 x 1 x 4 x2 x 5 a x x o b y 1 4 x , x 为极大点 2 5 x , x 为极小点 3 x 不是极值点 1) 函数的极值是函数的局部性质. 3) 函数的最值是函数的全局性质. 2) 对常见函数, 极值可能出现在驻点或导数 不存在的点. 函数极值的判定法 由费马引理可知可导函数的极值点一定是驻点
定理1(取得极值的充分条件) 设函数f(x)在x0的某邻域内连续,且在空心邻域 内有导数,当x由小到大通过x0时 (1)f(x)“左正右负”,则f(x)在x取极大值 (2)f(x)“左负右正”,则f(x)在x0取极小值; (证明略) 例如,容易验证=0是y=x2,x∈(-∞,+∞)的极小 值点 而x=0不是y=x3,x∈(-∞,+∞)的极值点
定理 1 (取得极值的充分条件) ( ) , 设函数 f x 在x0的某邻域内连续 且在空心邻域 内有导数, , 当x由小到大通过 x0时 (1) f (x) “左正右负” , ( ) ; (2) f (x) “左负右正” , 则f x 在x0 取极小值 ( ) . 则f x 在x0 取极大值 (证明略) 例如, 2 y x x = − + , ( , ) 3 而 y x x = − + , ( , ) 容易验证x=0是 的极小 值点. x=0不是 的极值点
例3求函数f(x)=(x-1)x3的极值 解1)求导数f(x)=x3+(x-1)x5+3 2)求极值可疑点 3 令f()=0,得x=2:令f(x)=∞,得x2=0 5 3)列表判别 x|(∞0)003)3(3,+ ● f(x)+ f(x) 0 0.33 x=0是极大值点,极大值为f(0)=0 x=2是极小值点,极小值为f(3)=-0.33
例3 求函数 3 2 f (x) = (x −1)x 的极值 . 解 1) 求导数 2 3 f x x ( ) = + 1 3 2 ( 1) 3 x x − − 3 2 5 5 3 x x − = 2) 求极值可疑点 令 f (x) = 0 , 得 1 2 ; 5 x = 令 f (x) = , 得 0 x2 = 3) 列表判别 x f (x) f (x) 0 5 2 0 + − + 0 − 0.33 (−, 0) (0 , ) 5 2 ( , ) 5 2 + x = 0 是极大值点， 极大值为 f (0) = 0 是极小值点， 极小值为 5 2 x = ( ) 0.33 5 2 f = −
定理2(第二充分条件)设f(x)在x处具有二阶导数 且f(x0)=0,f(x)≠0,那末 (1)当f(x)0时,函数f(x)在x处取得极小值 证(1)…f"(x)=lmf(x+△D-/()0 △ 故f(x0+△x)-f(x0)与Ax异号, 当Axf(x0)=0 当Ax>0时,有f(x+△x)<f∫(x)=0, 所以函数f(x)在x处取得极大值
定理2(第二充分条件) 证 (1) x f x x f x f x x + − = → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0, 故f (x0 + x) − f (x0 )与x异号， 当x 0时， ( ) ( ) 0 x0 有f x + x f = 0, 当x 0时， ( ) ( ) 0 x0 有f x + x f = 0, 所以,函数 f (x)在 0 x 处取得极大值 设 f (x)在 0 x 处具有二阶导数, 且 ( ) 0 0 ' f x = , ( ) 0 0 '' f x , 那末 (1)当 ( 0 ) 0 '' f x 时, 函数 f (x)在x0 处取得极大值; (2)当 ( ) 0 0 '' f x 时, 函数 f (x)在 0 x 处取得极小值. ( ) ( ) 0 x0 有f x + x f ( ) ( ) 0 x0 当x 0时， 有f x + x f ( ) ( ) 0 x0 有f x + x f ( ) ( ) 0 x0 有f x + x f 当x 0时， 当x 0时， ( ) ( ) 0 x0 有f x + x f ( ) ( ) 0 x0 有f x + x f 故f (x0 + x) − f (x0 )与x异号， 当x 0时， 当x 0时， ( ) ( ) 0 x0 有f x + x f ( ) ( ) 0 x0 有f x + x f x f x x f x f x x + − = → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 故f (x0 + x) − f (x0 )与x异号， 当x 0时， 当x 0时， ( ) ( ) 0 0 有f x + x f x ( ) ( ) 0 0 有f x + x f x
思考与练习 设在[0,上f"(x)>0,则f(O),f(1),f(1)-f(0) 或f(0)-f(1)的大小顺序是(B) (A)f(1)>f(0)>f(1)-f(0) (B)f(1)>f(1)-f(0)>f(0) (C)f(1)-f(0)>f(1)>f(0) (D)f(1)>f(0)-f(1)>f(0) 提示:利用∫(x)单调增加,及 f(1)-f(0)=f(2)(0<2<1)
思考与练习 [0,1] 上 f (x) 0, 则 f (0), f (1), f (1) − f (0) 或 f (0) − f (1) 的大小顺序是 ( ) (A) f (1) f (0) f (1) − f (0) (B) f (1) f (1) − f (0) f (0) (C) f (1) − f (0) f (1) f (0) (D) f (1) f (0) − f (1) f (0) 提示: 利用 f (x) 单调增加 , f (1) − f (0) = f () (0 1) 及 B 设在
利用导数求函数的最值是导数的又一重要应用 若函数八(x)在闭区间[a,b上连续,则其最值只能 在极值点或端点处达到 求函数最值的方法: 1)求f(在(的内的极值可疑点 X1. x X (2)最大值 M=max( f(x,),f(x2),,(xm),f(a), f(b)) 最小值 m=minf(x),f(x2),,f(xm),f(a),f(b))
则其最值只能 在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法: (1) 求 f (x 在 ) (a 内的极值可疑点 ,b) m x , x , , x 1 2 (2) 最大值 M = max ( ) , 1 f x ( ), 2 f x , ( ), m f x f (a), f (b) 最小值 m = min ( ), 1 f x ( ), 2 f x , ( ), m f x f (a), f (b) 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续， 利用导数求函数的最值是导数的又一重要应用
特别: ●当f(x)在{a,b内只有一个极值可疑点时,若在 此点取极大(小值,则也是最大小)值 ●当f(x)在[a,b上单调时,最值必在端点处达到 ●对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的 可疑点是否为最大值点或最小值点
特别: • ●当 f (x) 在 [a,b] 内只有一个极值可疑点时, • ●当 f (x) 在 [a,b] 上单调时, 最值必在端点处达到. 此点取极大 (小)值 , 则也是最大 值 . • ● 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的 可疑点是否为最大 值点或最小值点 . (小) 若在
最大利润问题 某制造商制造并出售球形瓶装的某种酒 瓶子的制造成本是08x(分),其中r是瓶子的 半径,单位是厘米.假设每售出1立方厘米的酒, 商人可获利02分,他能制作的瓶子最大半径为 6厘米,问 1)瓶子半径多大时,能使每瓶酒获利最大? 2)瓶子半径多大时,每瓶酒的获利最小?
最大利润问题 某制造商制造并出售球形瓶装的某种酒. 瓶子的制造成本是 2 0.8r 1) 瓶子半径多大时，能使每瓶酒获利最大？ 半径，单位是厘米. （分）， 2) 瓶子半径多大时，每瓶酒的获利最小？ 商人可获利0.2分， 6厘米，问 其中r是瓶子的 假设每售出1立方厘米的酒， 他能制作的瓶子最大半径为