第 多元函数邀分法及应用
第八章 多元函数微分法及其应用 返回
王工 上习题课结构 重点难点 基本概念 典型例题 计算方法 东习题 练习题 定理结论 解谷 高等数学,( XAUAT) ▲Nu
高等数学（XAUAT） 练习题 解答 重点难点 基本概念 计算方法 练习题 典型例题 定理结论 习题课结构
本章的重点、难点、此次习题课达到的目的 重点:偏导数的概念;全微分的概念;多元函数求偏导数;多元 函数求极值。 难点:二元函数极限的计算;多元符合函数的求导法则、隐函数 求导法则的运用;条件极值的概念与拉格朗日数乘法的意义。 习题课达到的目的:使学生理解偏导数、全微分的概念,熟练掌 握偏导函数的计算方法。 高等数学,( XAUAT) ▲Nu
高等数学（XAUAT） 一.本章的重点、难点、此次习题课达到的目的 重点：偏导数的概念；全微分的概念；多元函数求偏导数；多元 函数求极值。 难点：二元函数极限的计算；多元符合函数的求导法则、隐函数 求导法则的运用；条件极值的概念与拉格朗日数乘法的意义。 习题课达到的目的：使学生理解偏导数、全微分的概念，熟练掌 握偏导函数的计算方法
二.基本概念 王士 1二元函数连续 设函数f(x,y)在区域D内有定义,P(x2y)是D的内点 或边界点,且P∈D,如果limf(x,y)=f(x,y)则称函数 Xo y→>y (x,y)在点P(x,y)连续 2—二元函数偏导数 设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某一邻域内有定义当y定在 王从而极限(+)(业存在,称=()在 △x (x,y)关于x的偏导数存在 记f(x0,yb)=1im=1im f(x+△xy)-f(x,y △x 高等数学,( XAUAT) ▲Nu
高等数学（XAUAT） 2.二元函数偏导数 ( ) ( 0 0 0 0 ) ( ) 0 0 0 0 , , , lim lim x x x x z f x x y f x y f x y → → x x + − = = 记 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , lim , , , , . x x y y f x y D P x y D P D f x y f x y f x y P x y → → = 设函数 在区域 内有定义， 是 的内点 或边界点，且 如果 则称函数 在点 连续 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , . , , lim , , x z f x y P x y y f x x y f x y y z f x y x x y x → = + − = 设函数 在点 的某一邻域内有定义当 固定在 而极限 存在，称 在 关于 的偏导数存在. 1.二元函数连续 二.基本概念
同理有 f(ro, yo) f( o, yo+4y)f(ro,yo) △y->0△y Ay→>0 △ - lim f(xo,yo+Ay)-f(o,yo) △y→>0 △ 二元函数偏导数的几何意义。 f(x,x)是曲线{=在点(x(xn)的切线与x轴 正向夹角的正切tana(即切线对x轴的斜率) 3全微分 若函数:=/(xy)在点(x,y)的全增量△2可表为 z=f(x +Ar, y+Ay-f(x, y)=AAx+ BAy+o(p) 其B与AxAy无关,仅与,y有,√△x2+Ay 高等数学,( XAUAT) ▲Nu
高等数学（XAUAT） ( ) ( 0 0 0 0 ) ( ) 0 0 0 0 , , , lim lim y y y y z f x y y f x y f x y → → y y + − = = ( ) ( 0 0 0 0 ) ( ) 0 0 0 , , , lim x x xy y f x y y f x y f x y → y + − = 二元函数偏导数的几何意义。 同理有 f x y x ( 0 0 , ) 是曲线 在点 ( x y f x y 0 0 0 0 . , , ( )) 的切线与 x 轴 正向夹角的正切 tan （即切线对 x ( ) 0 , { z f x y y y = = 轴的斜率） 3.全微分 若函数 z f x y = ( , ) 在点 ( x y, ) 的全增量 z 可表为 = + + − = + + z f x x y y f x y A x B y o ( , ) ( , ) ( ) 其中 A B, 与 x y , 无关，仅与 x y, 有关， 2 2 = + x y
称函数在点(x2y)可微,而函数 z=f(x,y)在点(x,y)的微分dz=AAx+BAy 全微分公式: az dx+dy OX 4方向导数 庄设函数=fx,)在点Pxp)的某一邻域(P) 内有定义。自点p引射线l设x轴正向到射线硝转角 为,并设p(x+Ax,y+Ay)为上另一点 4; f(x+Ax, y+Ap)-f(x,y)=lim /(P)-f(p) p→>0 p→>0 存在,(p=√Ax2+4y2) 称函数f(x,y)在P点沿方向的方向导数存在记为 af 高等数学,( XAUAT) VA U
高等数学（XAUAT） ' 0 2 0 ' 2 ( , ) ( , ) ( ) ( lim l ( , ) ( , ) ( ) , ( , ) im f x x y y f z f x y P x y p p l x l p x x x y f p f p y y l x y → → = + + + + − − = + 设函数 在点 的某一邻域U 内有定义。自点 引射线 设 轴正向到射线 的转角 为 ，并设 为 上另一点 若 存在 ） ，（ = ） z f x y x y x B y = + ( , ) , ) 在点（ 的微分 dz=A y z dz dx dy x y = + 全微分公式: 4.方向导数 称函数 . f f x y P l l （ ， ）在 点沿方向 的方向导数存在,记为 称函数在点（x y, )可微，而函数
f 既一=lim f(P")-f(p) Ol 庄方向导数计算公式:若:=1(x)在(x)是可微的 则 af af coS p+=sin g al ax 王若(xy)在点(x)的偏导存在则(x在点 沿x轴正向a={1,0},y)轴正向a2={0,},x轴负方向 e'1={-1,0},y轴负方向e'2={0,-1}的方向导数存在 且 af ce人 de =f0 de de 高等数学,( XAUAT) ▲Nu
高等数学（XAUAT） 0lpxypxy' ( ) ( ) 0 ' lim f f p f p l → − = 既 ( ) ( ) cos si , , n f f f l x z f y y y x p x = + = 方向导数计算公式： 若 在 是可微的 则 ( ) ( ) , ( ) 1 2 1 2 , , . , {1,0}, {0,1} ' { 1,0} ' {0, 1} x y f x y p x y f f f x y p x e y e x e y e = = = − = − 若 在点 的偏导 存在则 在点 沿 轴正向 轴正向 ， 轴负方向 ， 轴负方向 的方向导数存在 1 1 2 2 x x y f f f f e e f f f f e e = = − = = − 且
庄5度 (x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导 数,称+为函数=1(xy)在点叫(xy)的梯度 OX 记 gradf(x2y)= af I-H of 王士 王梯度的模()=(改)+(改 梯度与x轴正向转角的正切为 tan 0= ax af 梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致,它的 模为方向导数的最大值 即 a gradf(x,y)=af + ax 高等数学,( XAUAT) ▲Nu
高等数学（XAUAT） ( , ) D ( , ) ( , ) z f x y f f i j z f x y p x y x y = + = 设函数 在平面区域 内具有一阶连续偏导 数,称 为函数 在点 的梯度. 2 2 ( , ) f f f x y x y = + 梯度的模：grad( , ) f f f x y i j x y = + 记 grad 5.梯度 2 2 max ( , ) f f f f x y l x y = = + grad 梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致，它的 模为方向导数的最大值， 即 tan f x x f y = 梯度与 轴正向转角的正切为
三.计算方法 1.多元显函数=f(xy)偏导数的计算 对x(或υ)求偏导.把y或x)看成常量。 注意:分段表示的函数求偏导数时,各段上用公式求, 分段点处用定义求.一般而言,分段函数的偏 导数仍为分段函数 2.多元复合函数求偏导 若==f()其中=l(x,y)y=v(x,y)w=(x,y) 那么x=fn(x,y)v(x,y)w(xy)的偏导公式为 CX az af au of ov of Z≤V ax ou ax oy ax ow ax W 高等数学,( XAUAT) ▲Nu
高等数学 （XAUAT ） z f u f v f w x u x v x w x = + + Z W y v U x 三 . 计 算 方 法 1. 多 元 显 函 数z f x y = ( , )偏 导 数 的 计 算 2. 多 元 复 合 函 数 求 偏 导 注 意：分 段 表 示 的 函 数 求 偏 导 数 时，各 段 上 用 公 式 求， 分 段 点 一 般 而 言，分 段 函 数 的 偏 导 数 仍 为处 用 定 义 求. 分段函数. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . . , . , . , [ , , , , , ] z f u v w u u x y v v x y w w x y xz f u x y v x y w x y = = = = = 若 其 中 那 么. 的 偏 导 公 式 为 对 （x y y x 或 ）求偏导.把（或 ） 看 成 常 量
求多元复合函数的偏导数时,可用连锁规则:具体做法 (1)先画出复合函数的连锁图(如上页图) (2)连线图中从复合函数到达某自变量的路线有几条, 公式中就有几项相加.每条线有几段则该项就有几 个偏导数(或导数)因子相乘。 (3)公式中的复合函数的中间变量、自变量只有一个时 求导记号用,多于一个时用 高等数学,( XAUAT) ▲Nu
高等数学（XAUAT） （1） 先画出复合函数的连锁图（如上页图） 3 d dx x （ ） 公式中的复合函数的中间变量、自变量只有一个时. 求导记号用 ，多于一个时用 。 求多元复合函数的偏导数时，可用连锁规则：具体做法 （2） 连线图中从复合函数到达某自变量的路线有几条， 公式中就有几项相加.每条线有几段则该项就有几 个偏导数（或导数）因子相乘