第 十一章无穷级数
第十一章 无穷级数 返回
一、主要内容 內区国回
一、主要内容
u为常数 un,为函数un(x) L 常数项级数 敢x≡x 函数项级数 般∥正∥/压 收 级数 三角级数 项/项 危敛 项 级 半泰勒展开式傅氏展开式 级数围数R 级 径 数 亻R(x)→0满足狄氏条件 泰勒级数‖傅氏级数 在收敛级数与数 条件下相互转化 数 数或函数 函数 內区国回
常数项级数 函数项级数 一 般 项 级 数 正 项 级 数 收 幂级数 三角级数 敛 半 径 R 泰勒展开式 数 数或函数 函 数 任 意 项 级 数 傅氏展开式 泰勒级数 傅氏级数 R(x) → 0 un为常数 u u (x) n为函数 n 满足狄 氏条件 取 x = x0 在收敛 级数与数 条件下 相互转化 n=1 un
1、常数项级数 王定义∑4=1+2+l3+…+4n+ -=1 王级数的部分和Sn=n1+2+…+n=∑4 王级数的收敛与发散 常数项级数收敛(发散)分imS存在(不存在) 內区国回
= + + ++ + = n n un u1 u2 u3 u 1 1、常数项级数 常数项级数收敛(发散) n n s → lim 存在(不存在). = = + + + = n i n u u un ui s 1 级数的部分和 1 2 定义 级数的收敛与发散
A收敛级数的基本性质 性质1:级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变 性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减 性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性. 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和 王级数收敛的必要条件:limn=0 n→0 四
性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性. 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和. lim = 0. → n n 级数收敛的必要条件: u 收敛级数的基本性质
常数项级数审敛法 项级数正项级数任意项级数 1.若Sn→>S,则级数收敛; 2.当n→∞,u→0,则级数发散 3按基本性质 H4.绝对收敛4充要条件 4绝对收敛 5比较法 5交错级数 6比值法 (莱布尼茨定理) 7根值法 內区国回
常数项级数审敛法 正 项 级 数 任意项级数 1. 2. 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理) 3.按基本性质; 若 S S ,则级数收敛; n → 当 → , → 0,则级数发散; n u n 一般项级数 4.绝对收敛
上2、正项级数及其审敛法 中定义∑n,n120 H-=1 审敛法正项级数收敛分部分和所成的数列s有界 (1)比较审敛法 若∑un收敛(发散)且vn≤un(unvn) 王则∑收敛发散) n=1 內区国回
定义 , 0 1 = n n un u 正项级数收敛 部分和所成的数列 有界. n s 2、正项级数及其审敛法 审敛法 (1) 比较审敛法 若 n=1 un 收敛(发散)且 ( ) n n n n v u u v , 则 n=1 n v 收敛(发散)
(2)比较审敛法的极限形式 o L 设∑un与∑vn都是正项级数如果lmn=l, n→ =1 n= 王则①)当0<1<+时一级数有相同的敛散性 王(2)当=0时,若∑收敛则4n收敛 1 nE H=1 3)当=+时,若∑v发散则∑un发散; H=1 四
(2) 比较审敛法的极限形式 设 n=1 un 与 n=1 n v 都是正项级数,如果 l v u n n n = → lim , 则(1) 当0 l +时,二级数有相同的敛散性; (2) 当l = 0时，若 n=1 n v 收敛,则 n=1 un 收敛; (3) 当l = +时, 若 n=1 n v 发散,则 n=1 un 发散;
(3)极限审敛法 设∑un为正项级数, n=1 上如果mn=1>0(或immn=∞) 则级数∑n发散 n=1 如果有p>1,使得 limn'u x存在 n→0 则级数∑4收敛 =1 內区国回
设 n=1 un 为正项级数, 如果lim = 0 → nu l n n (或 = → n n lim nu ), 则级数 n=1 un 发散; 如果有p 1, 使得 n p n n u → lim 存在, 则级数 n=1 un 收敛. (3) 极限审敛法
(4)比值审敛法(达朗贝尔 D'Alembert判别法) 设∑n是正项级数如果im=p(p数或+∞) n- 则p1时级数发散;p=时失效 (5)根值审敛法(柯西判别法) ±设∑是正项级数 n=1 上如果mn=p(p为数或+ n→0 则p1时级数发散;p=1时失效 內区国回
(4) 比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法) 设 n=1 un 是正项级数,如果lim ( ) 1 = + + → 数或 n n n u u 则 1时级数收敛; 1时级数发散; = 1时失效. (5) 根值审敛法 (柯西判别法) 设 n=1 un 是正项级数, 如果 = → n n n lim u (为数或+ ), 则 1时级数收敛; 1时级数发散; = 1时失效