第4章 §41不定积分 燕列雅权豫西王兰芳李琪
§4.1 不定积分 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪 第4章
不定积分的概念与性质 1.不定积分的定义 引例一个质量为m的质点,在变力F= A sint的作 用下沿直线运动,试求质点的运动速度v(t) 根据牛顿第二定律,加速度a(t) FA sin t e m m 因此问题转化为:已知v()=sint,求v(t)=? 定义1若在区间/上定义的两个函数F(x)及f(x) 满足F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,则称F(x)为(x) 在区间I上的一个原函数 A A 如引例中,sint的原函数有-cost,--c0st+3,…
一、不定积分的概念与性质 引例 一个质量为 m 的质点, 用下沿直线运动 , v t( ). 因此问题转化为: 已知 ( ) sin t , m A v t = 求 v(t) = ? 在变力 试求质点的运动速度 根据牛顿第二定律, 加速度 m F a(t) = t m A = sin 定义 1 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 F(x) = f (x) 或dF(x) = f (x)dx, 在区间 I 上的一个原函数 . 则称 F (x) 为f (x) 如引例中, t m A sin 的原函数有 cos t, m A − − cost + 3, m A 1. 不定积分的定义 F A t = sin 的作
由定义,若F(x)是f(x)的一个原函数, 则 (F(x)+C)=F'(x)=f(x) F(x)+C是f(x)的原函数 又设G(x)是fx)的一个原函数, 即 G(x)=f() 又知 F(x=f(x) [G(x)-F(x)=G(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0 故 G(x)=F(x)+C。(C为某个常数) 即八x)的任意两个原函数之间只相差某个常数 综上所述,若F(x)是八x)在区间I上的一个原函数, 则Fx)+C是x)在区间上的原函数的一般表达式
由定义, 若F(x)是f(x)的一个原函数， + F x C f x ( ) ( ) 是 ( ( ) ) F x C+ = F x ( ) = f x( ) G x f x ( ) ( ) = 又知 F x f x ( ) ( ) = − [ ( ) ( )] G x F x = − G x F x ( ) ( ) =−= f x f x ( ) ( ) 0 故 0 G x F x C ( ) ( ) = + 即f(x)的任意两个原函数之间只相差某个常数. 即 则 又设G(x)是f(x)的一个原函数， 则F(x) +C是f(x)在区间I 上的原函数的一般表达式. 综上所述, 若F(x)是f(x)在区间I 上的一个原函数, (C0为某个常数) 的原函数
问题: 1.在什么条件下,一个函数的原函数存在? 2.若原函数存在,如何求? 定理1若函数(x)在区间上连续,则fx)在区间上 存在原函数 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数
问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 如何求 ? 定理1 存在原函数 . 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 若函数f(x)在区间I上连续, 则f(x)在区间I上
定义2f(x)在区间I上的原函数的一般表达式称为 f(x)在/上的不定积分记作(x)dx,其中 ∫一积分号:f(x)一被积函数 x一积分变量;f(x)dx-被积表达式 即若F"(x)=f(x),则 「f(xx=F(x)+C(C为任意常数) 例如,edx=ex+C C称为积分常数 x dx=xt sin xdx=-cosx+c
定义 2 f (x) 在区间 I 上的原函数的一般表达式称为 f (x)在I 上的不定积分, f (x)dx , 其中 — 积分号; f (x) — 被积函数; x — 积分变量; f (x)dx — 被积表达式. 即若 F(x) = f (x) , 则 f x x = F x +C ( )d ( ) ( C 为任意常数 ) C 称为积分常数 不可丢 ! 例如, = e x x d e C x + = x dx 2 x +C 3 3 1 = sin xdx − cos x +C 记作
不定积分的几何意义: f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线 f(x)dx的图形 f(x)的所有积分曲线组成 的平行曲线族
不定积分的几何意义: f (x) 的原函数的图形称为 f (x) f (x)dx 的图形 f (x) 的所有积分曲线组成 的平行曲线族. y o x0 x 的积分曲线
2.不定积分的性质 ) J k/(x)dx=kfr(xdx(k+O) 2)[(xgxd=(x)x±∫8(x)dx 推论若f(x)=∑kf(x),则 ∫f(x)dx=∑k(xkx 3)不定积分与微分(导数的关系 (x)x1=/(x)或可[』f(x)x=(xd JF(x)dx=F(x)+C st d F(x)=F(x)+C
2. 不定积分的性质 1) ( ) d k f x x = 2) [ ( ) ( )] d f x g x x 推论 若 ( ) ( ) , 1 f x k f x i n i i = = 则 1 ( )d ( )d n i i i f x x k f x x = = k f (x)dx = f (x)dx g(x)d x (k 0) d d x f (x)d x = f (x) 3) 不定积分与微分(导数)的关系 d 或 f (x)dx = f (x)dx dx C = + F(x) F(x) 或 = +C d F(x) F(x)
3.基本积分表 利用逆向思维 1)「kdx=kx+C(k为常数) (2)jxdx=mx1+C(≠-D) dx= In x+C x<0时 (3) 1 n x n(-x (4)e dx=e+C (5)a' dx- Ina +o (6)cos xdx=sinx+C (7)∫ sin xdr=-cosx+C
3. 基本积分表 利用逆向思维 = (1) kdx kx +C ( k 为常数) = (2) x dx 1 1 1 x C + + + = x d x (3) ln x +C x 0时 ( −1) (ln x ) = [ln(−x)] x 1 = (4) dx e x = e C x + (5) dx a x = C a a x + ln = (6) cos xdx sin x +C = (7) sin xdx − cos x +C
(8)∫ d x 9=sec xdx= tan x+C d x csc2 xdx=-cot x+C (10)sec x tan xdx= secx+C (11)csc x cot xdx=-cscx+C 2)「x= arctan x+C或- arccot+C 1+x dx (13) arcsinx +C E-arc cosx+c
= x x2 cosd ( 8 ) = sec x dx 2 tan x + C = x x2 sind ( 9 ) 2 csc dx x = − cot x + C = (10) sec x tan xdx sec x +C = (11) csc x cot xdx − csc x +C 2 d (12) 1 xx = + arctan x + C 或 − arccot x + C 2 d (13) 1 xx = − arcsin x + C 或 − arccos x + C
dx 例1求 xix 解原式=「x3dx=xA,+C=-3x3+C 例2求2(e2-5x 解原式 ∫a 2e)2-52)dx= (2e) 2 +C In(2e) In2 2 +c In 2+1 In2 例3求| sin x cos x dx 解原式一 3sin xdx=-1osx+C
例1 求 . d 3 x x x 解 原式 = x dx 3 4 − 1 3 4 − + = = − x +C − 3 1 3 1 3 4 − + x +C 例2 求 2 (e 5)dx . x x − 解 原式 = e x x x [(2 ) − 5 2 )d ln(2 ) (2 ) e e x = ln 2 2 5 x − C e x x + − + = ln 2 5 ln 2 1 2 +C 例3 求 sin cos d . 2 2 x x x 解 原式= sin x dx 2 1 = − cos x +C 2 1