§10.3格林公式 XD
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§10.3格林公式 回忆在一元函数微积分中最重要的么式 牛顿-莱布尼兹公式(微积分基本公式) ∫F(x)d=[F(x) 该公玉的重要意义: 它建立了微分与积分的关系,为 定积分的计算提供了一种简单而有 D L 效的方法 2该公式揭示了函数在区间内部与 边果之间的内在联系
• 单击此处编辑母版文本样式 – 第二级 • 第三级 – 第四级 » 第五级 XJD 1.它建立了微分与积分的关系，为 定积分的计算提供了一种简单而有 效的方法 §10.3 格林公式 2.该公式揭示了函数在区间内部与 边界之间的内在联系 牛顿-莱布尼兹公式（微积分基本公式） b a b a F ( x )dx F ( x ) 该公式 的重要意义 ： 回忆在一元函数微积分中 最重要的公式 ： y O x D L O a b x
、公式的建立 牛顿-莱布尼兹公式 ∫F(x)dx=[F(x)] 牛顿-莱布尼兹公式在平面区域的推广 ∫j(???)d=∮Px)d+(x 其中L是D的正向边界 正向边界定义 D 人沿边界走,区域在左侧
• 单击此处编辑母版文本样式 – 第二级 • 第三级 – 第四级 » 第五级 XJD 牛顿-莱布尼兹公式 b a b a F ( x )dx F ( x ) 一、公式的建立 D dxdy 其中： L是 D的正向边界 牛顿-莱布尼兹公式 在平面区域的推广 L y O x D L P(x, y)dx Q(x, y)dy 正向边界定义 人沿边界走，区域在左侧。 ? O a b x ? ?
在矩形区域上探索格林公式的形式 00 oP Ox-a,)rdy=手P(x,y)dx+(x,y)y(格林公式) P(x,y)dx= P(x, d)dx+ P(x, c)dx 「P(x,d)-P(x,c)ldx d aP J dy ldx aP ②D④ L ra@ dx dy 两式相加即知被积函数的形式
• 单击此处编辑母版文本样式 – 第二级 • 第三级 – 第四级 » 第五级 XJD y O x D c d L a b 探索格林公式的形式 D dxdy L P(x, y)dx Q(x, y)dy L P(x, y)dx P x d x a b ( , )d b a [P(x, d) P(x, c)]dx b a d c y x y P d d D x y y P d d L Q(x, y)dy D x y x Q 同理 d d y P x Q 在 矩形区域 上探索格林公式的形式 P x c x b a ( , )d 两式相加即知被积函数的形式 ① ② ③ ④ （格林公式）
格林完理设有界闭区域D的边界是分段光滑曲线,L是D的 正向边界,P(x,y,(x,以QQP ,在D上连续,则 ag_ aDdy P(x,y)dx+Q(x,y)dy(格林公式) ax a 证(1)若D为凸形区域,则 x=x,(y) B ag dx dy= dy x2(y) oe dx a Jx1(y)ax D le(x,(),)-Q(x,(), y)ldy L ax()+x(),y x B(,ydy 同理(=P(x),两式相加即得(格林公式)
• 单击此处编辑母版文本样式 – 第二级 • 第三级 – 第四级 » 第五级 XJD y O x D L 格林定理 d c x y x y x x Q dy d ( ) ( ) 2 1 D x y x Q d d L P(x, y)dx D x y y P 同理 d d y P x Q P x y Q x y ( , ), ( , ), , 设有界闭区域D的边界是分段光滑曲线，L是D的 正向边界， 在D上连续，则 （格林公式） d c Q[x ( y), y]dy 2 L Q(x, y)dy c d Q[x ( y), y]dy 1 证 (1) 若 D为凸形区域 c d A B ( ) 2 x x y ( ) 1 x x y ，两式相加即得（格林公式） D x y y P x Q d d L P(x, y)dx Q(x, y)dy ,则 d c [Q(x ( y), y) Q(x ( y), y)]dy 2 1
格林完理设有界闭区域D的边界是分段光滑曲线,L是D的 正向边界,P(x,y,(x,以QQP ,在D上连续,则 ag_ aDdy P(x,y)dx+Q(x,y)dy(格林公式) ax a 证(1)若D为凸形区域,则(格林公式)成立 (2)若D为一般单连通区域(如图)y L 小可划分D为D1和D2,于是有 D Li 两式相加即得人格林公式)
• 单击此处编辑母版文本样式 – 第二级 • 第三级 – 第四级 » 第五级 XJD y O x D L 格林定理 y P x Q P x y Q x y ( , ), ( , ), , 设有界闭区域D的边界是分段光滑曲线，L是D的 正向边界， 在D上连续，则 （格林公式） 证 (1) 若 D为凸形区域 两式相加，即得（格林公式） (2) 若 D为一般单连通区域 (如图) 则可划分 D为D1和D2 ,于是有 1 1 2 2 , D L D L D1 D2 L1 L2 D x y y P x Q d d L P(x, y)dx Q(x, y)dy ,则（格林公式）成立
格林完理设有界闭区域D的边界是分段光滑曲线,L是D的 正向边界,P(x,y,x,以QQP ,在D上连续,则 们(2时)(格林公 证(1)若D为凸形区域,则(格林公式)成立 (2)若D为一般单连通区域,则(格林公式)成立 者D为一般多连通线(如图) 则可划分D为D1和D2,于是有 J 两式相加即得(格林公式)证毕
• 单击此处编辑母版文本样式 – 第二级 • 第三级 – 第四级 » 第五级 XJD y O x D L 格林定理 y P x Q P x y Q x y ( , ), ( , ), , 设有界闭区域D的边界是分段光滑曲线，L是D的 正向边界， 在D上连续，则 （格林公式） 证 (1) 若 D为凸形区域 ,则（格林公式）成立 两式相加，即得（格林公式） (2) 若 D为一般单连通区域 则可划分 D为D1和D2 ,于是有 1 1 2 2 , D L D L D1 D2 L1 L2 (3) 若 D为一般多连通域 (如图) D x y y P x Q d d L P(x, y)dx Q(x, y)dy ,则（格林公式）成立 证毕
二、格林公式的应用 从国→○→→证明了 们2=+)(格公 例1计算积分y(esmy-p)dx+ (e cos y-1 曲线x+y=1围成的区域D的正向边界。 (e sin y-y)dx+(e cos y-1)dy eveosyfef cosy+1)drdy X#A+√2·N2+2
• 单击此处编辑母版文本样式 – 第二级 • 第三级 – 第四级 » 第五级 XJD 其中L是曲线|x|+|y|=1围成的区域D的正向边界。 1 1 -1 -1 L D y O x 二、格林公式的应用 （格林公式） 从 证明了： 例1 计算积分 L x x (e sin y y)dx (e cos y 1)dy 解 D x (e cos y y x y x e cos 1) d d A 2 2 2 D x y y P x Q d d L P(x, y)dx Q(x, y)dy L x x (e sin y y)dx (e cos y 1)dy ② ① ③ ④
例2求星形线L:x=cost,y=sin所界图形的面积。 解A ao aP ∫ rai dax ay L dy=3 cos tsin tdt 1212Icost-cos]dt 31丌531x)3兀 =12°.- 4226422)8 它建立了二重积分与曲线积分的一种等式关系 2它揭示了函数在区域内部与边界之间的内在联系 3从它出发,可以导出数学物理中的许多重要公式 4它的应用范围可以突破右手系的限制,使它的应用 更加广泛,而这只需要改变边界的正向定义即可。 △区
• 单击此处编辑母版文本样式 – 第二级 • 第三级 – 第四级 » 第五级 XJD 例2 求星形线 L x t y t 3 3 ： cos , sin 所界图形的面积。 解 D A dxdy L xdy 2 π 0 4 6 12 [cos t cos t]dt 2π 0 4 2 3 cos tsin tdt 8 3 2 2 1 4 3 6 5 2 2 1 4 3 12 y O x D L 1 1 -1 -1 重要意义： 1.它建立了二重积分与曲线积分的一种等式关系 2.它揭示了函数在区域内部与边界之间的内在联系 4.它的应用范围可以突破右手系的限制，使它的应用 3.从它出发，可以导出数学物理中的许多重要公式 更加广泛，而这只需要改变边界的正向定义即可。 D x y y P x Q d d