第五章定积分 高等数学(XJD)
高等数学（XJD） 第五章 定积分 返回
定积分的内容结构 问题1: 问题2 曲边梯形的面积「 变速直线运动的路程 千存在完理〖定积分广义积分 千的 牛顿-莱布尼茨公式 计 定积 性积 质分 ∫(xMk=F()F)法分 高等数学(XJD) ▲u
高等数学（XJD） 问题1: 曲边梯形的面积 问题2: 变速直线运动的路程 存在定理 定积分 广义积分 定 积 分 的 性 质 定 积 分 的 计 算 法 牛顿-莱布尼茨公式 f (x)dx F(b) F(a) b a = − 定积分的内容结构
第五章定积分 1.积分定义 2.积分性质 3.变上限积分 4.积分方法 5.典型例题 高等数学(XJD) ▲V^Yu
高等数学（XJD） 第五章 定积分 1. 积分定义 2. 积分性质 3. 变上限积分 4. 积分方法 5. 典型例题
1.积分定义 ∫∫(x)dx=lm∑f(5)Ax,(构造积分的方法:元素法 f(x)c=F(x) (连续函数一定可积) P+0 f(x)dx=lim[f(x)dx (无穷积分) b→)+a b b-0 f(x)dc= lim f(r)dx 瑕积分) f(x)=f(x)+!f(x)h(右端两广义积分收敛时) 高等数学(XJD) ▲u
高等数学（XJD） 1. 积分定义 b b a f (x)dx = c a f (x)dx + b c f (x)dx + a f (x)dx →+ = b b a lim f (x)dx （连续函数一定可积） （无穷积分） b a f (x)dx − →+ = 0 0 lim ( ) b a f x dx （瑕积分） （右端两广义积分收敛时） i i （构造积分的方法：元素法） n i b a f x dx f x ( ) lim ( ) 1 0 = → = b a b a f (x)dx = [F(x)]
2.积分性质 4r1)线性性质 .()+8(=剧(x)+6() 2)可加性性质 CA(dx=f(x)dx+lf(x)dx 3)估值性质 T m(b-a)<Sr(xkdx sM(b-a) 2)中值定理 f(xtx=f(5)(b-a)(a≤5≤b 高等数学(XJD) ▲u
高等数学（XJD） + = + b a b a b a [k1 f (x) k2 g(x)]dx k1 f (x)dx k2 g(x)dx b a f (x)dx = + b c c a f (x)dx f (x)dx 2. 积分性质 m(b a) f (x)dx M(b a) b a − − f x dx b a ( ) == f ( )(b − a) (a b) 1)线性性质 2)可加性性质 3)估值性质 2)中值定理
3变上限积分 ∫f(x)dk=f(x) 王王 dx ja d syf(dt= fly(x)ly'(x)fIo(x)lo'(x) dx dp(x) f(tdt lim = im ∫(x) (极限存在时) x→m (x-a)2x+a2(x-a) ∫f(x) Cat lin f(x)(极限存在时) x→ag(x) 高等数学(XJD) ▲u
高等数学（XJD） f (x)dx f (x) dx d x a = 3. 变上限积分 ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) f t dt f x x f x x dx d x x = − （极限存在时） 2( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 2 x a f x x a f t dt x a x a x a − = → − → （极限存在时） ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim g x f x g x dx f x dx x a x a x a x→a → =
4积分方法 1)直接积分法 利用不定积分表、积分性质以及定积分5个公式求积分 2)换元法积分法 p()cB f(udu fl(xlo(x)dc 3)分部积分法 (确定积分部分和微分部分) 高等数学(XJD) ▲u
高等数学（XJD） 2)换元法积分法 1)直接积分法 利用不定积分表、积分性质以及定积分5个公式求积分 = = f u du f x x dx u x b a ( ) [ ( )] ( ) ( ) 3)分部积分法 （确定积分部分和微分部分） = − b a b a b a uv dx uv u vdx 4. 积分方法
5.典型例题 例1求 12√1-sin2x. 解原式=!imx-cwxt =.(cos x-sin x)dx+2(sin x-cos x)dx 4 =22-2. 高等数学(XJD) ▲u
高等数学（XJD） 例1 解 1 sin 2 . 2 0 求 − xdx = − 2 0 原式 sin x cos x dx = − + − 2 4 4 0 (cos x sin x)dx (sin x cos x)dx = 2 2 − 2. 5. 典型例题
T 例2求 sIn dx 0 sinx + cos x 解由Ⅰ=[2,.0a,设J=[2 0 sinx cos x 0 sinx+ cos x 则I+J=b女。x 2 I-J= sInx- cos dx= d(cos x +sin x) 0 Jo sinx+ cos x 0 sinx+cos x 上故得21=,即r=兀 2 4 高等数学(XJD) ▲u
高等数学（XJD） 解 . sin cos sin 2 0 + dx x x x 求 , sin cos sin 2 0 + = dx x x x 由 I , sin cos cos 2 0 + = dx x x x 设 J , 2 2 0 + = = 则 I J dx + − − = 2 0 sin cos sin cos dx x x x x I J + + = − 2 0 sin cos (cos sin ) x x d x x = 0. , 2 2 故得 I = . 4 即 I = 例2
工 3求一c“ 解令e=sint, cos t x0 In2 则x=- In sin t,,=-4t T sint t 26 T原式=[cos( cos t cOS )t= dt 2 sin t dt π ai 6SⅧt intt=ln(2+√3) 6 2 高等数学(XJD) ▲u
高等数学（XJD） 解 1 . ln 2 0 2 − − e dx 求 x e sin t, x = 令 − . sin cos lnsin , dt t t 则 x = − t dx = − = − 6 2 ) sin cos cos ( dt t t 原式 t = 2 6 2 sin cos dt t t x t 0 ln2 2 6 = − 2 6 2 6 sin sin tdt t dt . 2 3 = ln(2 + 3) − 例3