西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）习题课——第二章 导数与微分

第二章导数与微分 高等数学(XJD)

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导数与微分关系图 王工 系可导可微导数中 关 微商收 基本公式 导数 微分 △y 求导方法 lim △x→>0△x dy=y△x 高阶导数 求导法则 微分法则 高等嶽学高等学)(XJD)

高等数学（高等数学 XAUAT）（XJD） 求导法则 基本公式 导 数 x y x    →0 lim 微 分 dy = yx 关 系 dx dy dx dy 可 导 可 微 导 数 = 微 商 求导方法 高阶导数 微分法则 导数与微分关系图

第二章导数与微分 1.导数定义 6.微分定义 王工 2.基本求导公式 7.基本微分公式 3求导法则 8.微分法则 4求导方法 9.典型例题 5.高阶导数 高等嶽学高等学)(XJD) ▲^

高等数学（高等数学 XAUAT）（XJD） 第二章 导数与微分 1. 导数定义 2. 基本求导公式 3. 求导法则 4. 求导方法 5. 高阶导数 6. 微分定义 7. 基本微分公式 8. 微分法则 9. 典型例题

1.导数定义 上□p=f(在x=x的导数: ff(x) x=n=y(x)=f′(x)=lim A J d x Lr=co dx x= o d x △x→>0△x 中导数:f(x)=lm f(x)-f(x0) f(x0+△x)-f(x0) im x→x0 x=o Ax→0 Ax f(x)-f(x0) 左导数:f(x0)=如m。x-x04 im ∫(x0+4x)-f(x0) ∠Lv 王右导数:f(x)=m f(x)-f(x0) f(o +Ax)-f(o) A→+0 ∠v f(x)在x可导台f(x)和f(x0)都存在且相等 高等嶽学高等学)(XJD)

高等数学（高等数学 XAUAT）（XJD） 1. 导数定义 x y y x f x dx df x dx df dx dy x x x x x x x Δ Δ ( ) ( ) lim ( ) Δ 0 0 0 0 0 0 → = = = = = =  =  = y = f (x)在x = x0 的导数： 左导数： x f x x f x x x f x f x f x x x x    ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 + − = − −  = → − →− − 右导数： x f x x f x x x f x f x f x x x x    ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 + − = − −  = → + →+ + x f x x f x x x f x f x f x x x x Δ ( Δ ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 Δ 0 0 0 0 + − = − −  = 导数： → → f ( x)在x0可导 ( ) x0 f −  和 ( ) x0 f +  都存在且相等

2基本求导公式(常数和基本初等函数的导数公式 (C)=0 (x) =ux- (sinx)’=cosx (cos x)=-sinx (tan x)=sec x (cot x)=-csc x (sec x)= sec xtgx (esc x)=-csc xctgx (a"=a In a (e)=e (loga x)=I rIna (n x) (arcsin x) (arccos x)=-I 2 (arctan x) (arccot x) 1+x 高等嶽学高等学)(XJD)

高等数学（高等数学 XAUAT）（XJD） （常数和基本初等函数的导数公式） 2 2 2 1 1 (arctan ) 1 1 (arcsin ) ln 1 (log ) ( ) ln (sec ) sec (tan ) sec (sin ) cos ( ) 0 x x x x x a x a a a x xtgx x x x x C a x x +  = −  =  =  =  =  =  =  = 2 2 2 1 1 1 ( cot ) 1 1 (arccos ) 1 (ln ) ( ) (csc ) csc (cot ) csc (cos ) sin ( ) x x x x x x e e x xctgx x x x x x x x x +  = − −  = −  =  =  = −  = −  = −  =   − arc 2. 基本求导公式

3求导法则 上(函数的和、差、积、商的求导法则 (1)(u土p)’=l'±v’,(2)(c)=c’(c是常数) 工工 (3)(m)=uν+w,(4)(“2"y-W (v≠0) E(2)复合函数的求导法则(y=f(u)=(x)) dy d 或y'(x)=f'(u)·g(x) dx du dx (反函数的求导法则 设y=f(x)是x=q(y)的反函数则f'(x)= p'(x) 高等嶽学高等学)(XJD)

高等数学（高等数学 XAUAT）（XJD） (1) (u  v) = u  v, ( 2) (cu) = cu(c是常数) (3) (uv) = uv + uv , ( 4) ( ) ( 0) 2   −   = v v u v uv v u (1) 函数的和、差、积、商的求导法则 (3) 反函数的求导法则 ( ) 1 ( ) ( ) , ( ) x y f x x y f x    设 = 是 = 的反函数 则  = 3. 求导法则 (2) 复合函数的求导法则 y (x) f (u) (x). dx du du dy dx dy =  或  =   （y = f (u) = f[(x)]）

4求导方法 (1)隐函数求导法 用复合函数求导法则直接对方程两边求导 (2)对数求导法 先在方程两边取对数然后利用隐函数求导法求出导数 适用范围:多个函数相乘和幂指数(x)x的情形 (3)参变量函数的求导法 x=o(t) y=y(t) dy dt y(o dy y(to(t-y(to"(t) dx dx '()dx2 p(t) dt 高等嶽学高等学)(XJD)

高等数学（高等数学 XAUAT）（XJD） (1) 隐函数求导法 用复合函数求导法则直接对方程两边求导            = = ( ) ( ) y t x t   ; ( ) ( ) t t dt dx dt dy dx dy     = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 t t t t t dx d y         −   = (3) 参变量函数的求导法 (2) 对数求导法 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数求导法求出导数 适用范围: 多个函数相乘和幂指函数u(x) v( x) 的情形 4. 求导方法

5.高阶导数 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 2 三阶导数a2=2=2(x)=y”=r“x)= =lim f(x+ Ar)-f(r). f(t-f() lIm Ax→0 t→xt-x 阶导数}=5f(x)=ym=f"(x)=U"x ●● ●●●●● ● ●●●●●●●●● n阶导数 d"=∫(x)=y=∫(x)=f"(x) 高等嶽学高等学)(XJD)

高等数学（高等数学 XAUAT）（XJD） ( ) ( ) [ ( )] 2 2 2 2 2 2 = = f x = y = f  x = f  x  dx d dx d f dx d y 二阶导数 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 5. 高阶导数 t x f t f x x f x x f x x t x −  −  =  + −  = → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0    ( ) ( ) [ ( )] 3 3 3 3 = f x = y = f  x = f  x  dx d dx d y 三阶导数 ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( 1) = = = =  − f x y f x f x dx d dx d y n n n n n n n n 阶导数 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

6微分定义 上定义设函数y=(x)在某区间内有定义x及x+Ax 在这区间内,如果 △y=f(x0+△x)-f(x0)=A·△x+0(△x) 上成立(其中4是与△无关的常数则称函数y=f(x) 在点x可微,并且称Ax为函数y=f(x)在点x0相应 于自变量增量△的微分,记作小x或(xn)即 dy A.△ X=x 微分叫做函数增量△p的线性主部.(微分的实质) 高等嶽学高等学)(XJD)

高等数学（高等数学 XAUAT）（XJD） 定义 . , ( ), , ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 dy A x x dy df x x A x y f x x A x y f x y f x x f x A x o x y f x x x x x x x x =      =  =  = +  − =   +  = +  = 于自变量增量 的微分 记作 = 或 即 在点 可微 并且称 为函数 在点 相应 成立 其中 是与 无关的常数 则称函数 在这区间内 如果 设函数 在某区间内有定义 及 微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质) 6. 微分定义

7.基本微分公式 d(C)=0 d(x)=rdx d(sin x)=cos xdx d (cos x)=-sin xdx d (tan x)=sec xdx d(cot x)=-csc xde d(sec x)=sec x tan xdx d(csc x)=-csc x cot xdx d(a =a In ade e=e d(ogn4)≈ dx d (nx)==dx xIna d(arcsin x) de d(arccos x) CHr2 d d(arctan x) d x d (arc cot x)=-1 d x 1+x 1+x 高等嶽学高等学)(XJD)

高等数学（高等数学 XAUAT）（XJD） d x x xdx d x x xdx d x xdx d x xdx d x xdx d x xdx d C d x x dx (sec ) sec tan (csc ) csc cot (tan ) sec (cot ) csc (sin ) cos (cos ) sin ( ) 0 ( ) 2 2 1 = = − = = − = = − = =   − dx x dx d x x d x dx x dx d x x d x dx x dx d x x a d x d a a adx d e e dx a x x x x 2 2 2 2 1 1 ( cot ) 1 1 (arctan ) 1 1 (arccos ) 1 1 (arcsin ) 1 (ln ) ln 1 (log ) ( ) ln ( ) + = − + = − = − − = = = = = arc 7. 基本微分公式