第七章 空间解析几何与 向量代数
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王习题课结构 重点难点 内容提要 练习题解 高等数学,( XAUAT) ▲Nu
高等数学（XAUAT） 典型例题 练习题 练习题解答 内容提要 重点难点 习题课结构
本章的重点、难点、此次 习题课达到的目的 重点:向量的数量积、矢量积、,向量垂直、平行的条件;两向量 的夹角;直线、平面方程的建立。 难点:空间曲线在坐标面上的投影,用截痕发研究二次曲面。 习题课达到的目的:使学生熟练掌握建立直线、平面方程的方法; 牢记向量平行、垂直的条件。会求空间曲线在坐标平面上的 投影。熟悉常用二次曲面的方程。 高等数学,( XAUAT) ▲Nu
高等数学（XAUAT） 一、本章的重点、难点、此次 习题课达到的目的 重点：向量的数量积、矢量积、，向量垂直、平行的条件；两向量 的 夹角；直线、平面方程的建立。 难点：空间曲线在坐标面上的投影，用截痕发研 究二次曲面。 习题课达到的目的：使学生熟练掌握建立直线、平面方程的方法； 牢记向量平行、垂直的条件。会求空间曲线在坐标平面上的 投影。熟悉常用二次曲面的方程
二.内容提要 1.向量 (1)向量的投影、向量的坐标 向量AB在(轴上的投影PmdB=同cos9 q为向量AB与轴正向的夹角 结论:P(a+a2+…a1)=Pa1+Pma2+…+Pman 空间中有两点A(x1,y1,=1)B(x2,y2,=2) 向量AB=a={a,an,a}={x2-x1,y2-y1,=2-=1} a,i+av+a k a,a、,a叫向量c的坐枥 高等数学,( XAUAT) ▲Nu
高等数学（XAUAT） (1)向量的投影、向量的坐标 二.内容提要 AB u cos AB u Prju AB AB 向量 在 轴上的投影 = 为向量 与 轴正向的夹角 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 , , , , , , , , , , . n n x y z x y z x y z Prj a a a Prja Prja Prja x y z B x y z AB a a a a x x y y z z a i a j a k a a a a + + = + + + = = = − − − = + + 结论: 空间中有两点 A 向量 叫向量 的坐标 1.向量
向量的模l=√(x1-x2)+(1-y2)+(=1-=2) +a.-+C a. =lal cos a a cos B a=lal cos 其中a、y分别为向量a与x轴,y轴,轴正向的夹角 cosc、cosB、cosy叫向量动的方向余弦,且满足: cos a+cos B+cos y=1 王=(2是与而方向的单位向最 (2)向量的运算 设a={n,a,a}b={b.b,b} 加法:按平行四边形法则(三角形法则)相加 a+b={a+b、a,+b、a+b} 高等数学,( XAUAT) ▲Nu
高等数学（XAUAT） ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 x y z a x x y y z z a a a = − + − + − = + + 向量的模 cos cos cos x y z a a a a a a = = = 2 2 2 , , cos cos c cos cos cos 1 os a x y z a + + = 其中 、 、 分别为向量 与 轴 轴 轴正向的夹角. 、 、 叫向量 的方向余弦，且满足： 0 cos cos cos a a a a 向量 、 、 是与 同方向的单位向量 = = 设 a a a a b b b b = = x y z x y z , , , , a b a b a b a b + = + + + x x y y z z 按平行四边形法则（三角形法则）相加 、 、 加法： (2)向量的运算
数乘: 花a仍为向量,当λ>O时,a与d同向, 当<O时,a与饭反向,且Aa=xla 王工 ha=na.. na 数量积:两个向量的数量积是一个数 ab=alblcos0=alprjiab=b pre 其中0为向量与向量的夹角,O=a,b 0 <≤兀 b=ab ta bta b 满足ab=ba(a+b)=ac+bc a)·b=A(a.b 高等数学,( XAUAT) ▲Nu
高等数学（XAUAT） , , , , 0 0 x y z a a a a a a a a a a a = = 仍为向量，当 时 与 同向， 当 时 与 反向，且 ( ) ( ) ( ) cos 0 a b x x y y z z a b a b a b a prj b b prj a a a b a b b a a b c a c b c a b a b b a b a b a b = = + = + = = = = + + = 两个向量的数量积是一个数. 其中 为向量 与向量 的夹角， ， 满足 数量积： 数乘：
向量积:两个向量的向量积是一个向量. 2×b=园2sma=(a×b) d×b的方向垂直于d与b决定的平面,a×b的指向 按右手规则,从d转向b,大拇指的指向即axb 的方向 a×b=a.a,a b b (a, b -ab,)i+(a b,, b)j+(a, b, -a, b) k 高等数学,( XAUAT) ▲Nu
高等数学（XAUAT） ( ) sin a a b a b a b b a b a b a b a b = = 两个向量的向量积是一个向量. 的方向垂直于 与 决定的平面， 的指向 按右手规则，从 转向 ，大拇指的指向即 向量积： 的方向. ( ) ( ) ( ) x y z x y z y z z y z x x z x y y x i j k a b a a a b b b a b a b i a b a b j a b a b k = = − + − + −
满足:(a+b)×c=axc+b×c (Aa)×b=a×(b)=2(a×b)(为数 a×b=-b×a 结论:a≠0aba=Aba×b=0 ⊥b◇·b=0 注:零向量方向任意 2.旋转曲面、柱面 牛()旋转曲面:yc坐标面上曲线((y3)=0 绕:轴旋转得旋转曲面:f(+x2+y2)=0 绕y轴旋转得旋转曲面:/(y++y)=0 高等数学,( XAUAT) ▲Nu
高等数学（XAUAT） ( ) ( ) ( ) ( )( a b c a c b c a b a b a b a b b a + = + = = = − 满足： 为数） 0 // 0 0 a a b a b a b a b a b = = ⊥ = 结论： 注：零向量方向任意. 2.旋转曲面、柱面 (1)旋转曲面： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 , , 0 0 0 f x y z f y x yoz C f y z y y z + = + = 坐标面上曲线 ： = 绕 轴旋转得旋转曲面： 绕 轴旋转得旋转曲面：
生(2)柱面 F(xy)=0表示母线平行于轴的柱面其准线为(=)0 H(x,y)=0表示母线平行于x轴的柱面. 王cxy)=0表示母线平行于轴的桂面 平3.空间曲线的方程及在坐标面上的投影 生()方 一般式:{a(x23(两个曲面的交线) 生参数式。x=x()y=y0)==() 高等数学,( XAUAT) ▲Nu
高等数学（XAUAT） (2)柱面： ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 0 , 0 , 0 , 0 F x y F x y z z H x y x G x y y = = = = = 表示母线平行于 轴的柱面.其准线为 表示母线平行于 轴的柱面. 表示母线平行于 轴的柱面. (1)方程 ( ) ( ) , , 0 , , 0 ( F x y z G x y z = 一般式： = 两个曲面的交线） 参数式： x x t y y t z z t = = = ( ) ( ) ( ) 3.空间曲线的方程及在坐标面上的投影
(2)空间曲线在坐标面上的投影 空间曲线L 2(xy.==0去 (x,y,2)=0 →H(x,y)=0→{y)=0 投影柱面 (6)就是空间曲线L在xy上的投影曲线 同理可得L在其他坐标平面上的投影曲线 4.平面、直线方程 平面方程 点法式:A(x-x0)+B(y-y)+C(=-=0)=0 丌={A,BC}为平面的法向量 截距式 +2+-=1 a b 一般式:Ax+By+Cz+D=0 n={A,B,C}为平面的法向量,D=0平面过坐标原点,A=0 平面过轴,A=B=0平面平行于xoy面 高等数学( XAUAT) ▲Nu
高等数学（XAUAT） (2)空间曲线在坐标面上的投影 ( ) ( ) ( ) ( ) , , 0 , 0 , , 0 0 : , 0 z F x y z H x y L G x y z H z x y = = = = = 消去 投影柱面 空间曲线 ( ) , 0 0 H x y z L xoy = = 就是空间曲线 在 上的投影曲线. 同理可得 在其他坐标平面上的投影曲线 L 4.平面、直线方程 平面方程 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 , , A x x B z 0 A y y z B C C − + − + = = 点法式： − 为平面的法向量. 1 x y z a b c 截距式： + + = 0 , , , 0 0 . n A B C D Ax By Cz D x A B xoy + = = = = 一般式： + + = 为平面的法向量 平面过坐标原点,A=0 平面过 轴, 平面平行于 面