第三节 第三章 泰勒( Taylor)公式 用多项式近似表示函数一应用/论分析 近似计算 泰勒公式的建立 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用 ●0 机动目录上页下页返回结束
二、几个初等函数的麦克劳林公式 第三节 一、泰勒公式的建立 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、泰勒公式的应用 用多项式近似表示函数 — 应用 理论分析 近似计算 泰勒 ( Taylor )公式 第三章
泰勒公式的建立 在微分应用中已知近似公式 f(x)≈f(x0)+f"(x)x y=f(x) P1(x) (x) x的一次多项式 特点:P1(x0)=f(x0) o xo x n1(x0)=f(x0) 以直代曲 如何提高精度? 需要解决的问题 如何估计误差? 。8 机动目录上页下页返回结束
特点: ( ) 0 = f x ( ) 0 = f x 一、泰勒公式的建立 f (x) x y y = f (x) o ( ) ( )( ) 0 0 0 f x + f x x − x 以直代曲 0 x ( ) 1 p x 在微分应用中已知近似公式 : 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? x x 的一次多项式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1.求n次近似多项式pn(x),要求 P,(ro)=f(o), pn(xo=f(xo),, Pn(o)=f(n(xo 令Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0 则pn(x)= a1+2a2(x-x0)+…+nan(x-x0) X a2+…+n(n-1)an(x-x pm( ao=p2(x0)=f(x0), a1=pn(xo)=f(xo) Pm(x0)=1f"( 0 故Pn(x)=f(x)+f(x0)(x-x0)+2f(x0(x-x0)2+ ni f(xo( 。8 机动目录上页下页返回结束
1. 求 n 次近似多项式 要求: ( ) 2! 0 1 2 a p x n = ( ), 0 = f x , ( ) 0 ( ) ! 1 a p x n n = n n ( ) 0 ( ) f x n = 故 pn (x) = ( )0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x + 2 ! 1 ! 1 n n n f (x )(x x ) 0 0 ( ) + − ! 1 n 2 0 0 + f (x )(x − x ) 2 ! 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 pn (x) = 则 pn (x) = pn (x) = n an = ! ( ) ( ) p x n n ( ) 0 0 a p x = n ( ), 0 = f x ( ) 1 0 a p x n = ( ), 0 = f x a1 2 ( ) 2 0 + a x − x 1 0 ( ) − + + − n n na x x 2 2!a 2 0 ( 1) ( ) − + + − − n n n n a x x a0 n n a (x x ) a (x x ) a (x x ) 0 2 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ −
2余项估计 令Rn(x)=f(x)-P2(x)(称为余项),则有 Rn(x)=R2(x0)=…=R(x)=0 Rn,(x) n+ X-X Rn(x)-r,(o Rn(su) (在x与x之间) X x)+1 0(n+1)(21-x) R,(S-R,(x Rn(2) (22在x与 (n+1)(1-x0)-0( h+1(92-x 6)151之间 R(5n)=R0(x)_Rn+)(2) 5在x与x之间 (n+1)…2(5n-x)0(n+1) 。8 机动目录上页下页返回结束
) 0 ( 在x 与 n 之间 ( ) ( ) 1 0 + − = n n x x R x ( 1) 2( ) ( ) 0 ( ) n x R n n n n + − = 2. 余项估计 R (x) f (x) p (x) 令 n = − n (称为余项) , ( ) 0 R x n ( ) 0 R x n = ( ) 0 0 ( ) = = R x = n n 1 0 ( ) ( ) + − n n x x R x n n n x R ( 1)( ) ( ) 1 0 1 + − = ( 1)( ) ( ) 1 0 1 n n n x R + − = 1 2 0 2 ( 1) ( ) ( ) − + − = n n n n x R = ( 1)! ( ) ( 1) + = + n R n n 则有 ( ) 0 R x − n − 0 ( ) 0 R x n − − 0 ( ) 0 ( ) R x n − n − 0 x ) 1 0 ( 在x 与x之间) 1 2 0 ( 之间 在 与 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
R(x=f(x)-p(x) R, (x rmt(s (x-x0)G+!(在x与x之间 pn+)(x)=0,;Rn+)(x)=f(m+)(x) R, (x) (x-x0)(在x0与x之间) (n+1)! 当在x0的某邻域内|(m+)(x)≤M时 M rn(x) (n+1) Rn(x=O((x-xo")(x>xo) 。8 机动目录上页下页返回结束
R (x) f (x) p (x) n = − n ) 0 ( 在x 与x之间 ( ) 0, ( 1) = + p x n n 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ( ) ( ) ( 1) ( 1) R x f x n n n + + = 当在 x0 的某邻域内 f (n+1) (x) M 时 ) 0 ( 在x 与x之间 1 0 ( 1)! ( ) + − + n n x x n M R x ( ) (( ) ) ( ) 0 0 R x o x x x x n n = − → 机动 目录 上页 下页 返回 结束
泰勒中值定理: 若/(在包含的某开区间(ab)内具有 直到n+1阶的导数,则当x∈(,b)时有 f(x)=f(x0)+f(x0(x-x)+ x-x)-+ f n(o2(x xo)+r, (n+1) 其中Rn(x)= (n+1) (x-x0)(在x与x之间)② 公式①称为f(x)的n阶泰勒公式 公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项 。8 泰勒目录上页下页返回结束
公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . 泰勒中值定理 : 阶的导数 , 时, 有 ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − + + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − R (x) + n ① 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ② 则当 ) 0 ( 在x 与x之间 泰勒 目录 上页 下页 返回 结束
注意到R2(x)=o(x-x0)"] 在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为 f(x)=f(x0)+f(x0(x-x)+ x-x0)2+ (x-x0)+o(x-x0)]④ 公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺( Peano)余项 2可以证明 f(x)在点x0有直到n阶的导数 ④式成立 。8 机动目录上页下页返回结束
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 . 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) 0 ( 0 ) 2 + 2! ( ) x x f x − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − [( ) ] 0 n + o x − x ( ) [( ) ] 0 n n 注意到 R x = o x − x ③ ④ * 可以证明: ④ 式成立 机动 目录 上页 下页 返回 结束
f(x)=f(x)+/(x-0)+"(x) X (n+1)! 特例: 5在x0与x之间 (1)当n=0时泰勒公式给出拉格朗日中值定理 f(x)=f(x)+f((x-x0)(在x0与x之间) (2)当n=1时,泰勒公式变为 f(x)=f(x)+f(xx-x0)+5(x-x)2 可见f(x)≈f(0)+f(x)(x-x)(5在x0与x之间 误差R(x) f"(5) (x-x0)2(在x0与x之间) df 2 机动目录上页下页返回结束
特例: (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 + f x − x (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x 2 0 ( ) 2! ( ) x x f − + 可见 误差f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x + 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + + n n x x n f 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − d f ) 0 ( 在x 与x之间) 0 ( 在x 与x之间) 0 ( 在x 与x之间 ) 0 ( 在x 与x之间 机动 目录 上页 下页 返回 结束
在泰勒公式中若取x0=0,5=0x(0<0<1),则有 f(x)=f(0)+f(0)x+ f"(0 2! (n+(6x),n+1 (n+1)! 称为麦克劳林( Maclaurin)公式 马光林 由此得近似公式 f(x)≈f(0)+f”(0)x+ f"(0) x-+∴· 2! 若在公式成立的区间上/1(x)M则有误差估计式 M R2(x) n+1 (n+1)! 麦克劳林目录上页下页返回结束
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 . 0 , (0 1) , x0 = = x 则有 f (0)+ f (0)x 2 + 2! (0) x f + n n x n f ! (0) ( ) + 在泰勒公式中若取 f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x + 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + + n n x x n f 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − ) 0 ( 在x 与x之间 f (x) f (0) + f (0)x + ( ) , ( 1) f x M n + 则有误差估计式 1 ( 1)! ( ) + + n n x n M R x 2 2! (0) x f + n n x n f ! (0) ( ) + 若在公式成立的区间上 麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束 由此得近似公式
二、几个初等函数的麦克劳林公式 (1)f(x)=e f(x)=ex,f6(0)=1(k=1,2,…) X x 2!3! +“+n1+E(x) ex 其中Rn(x) (0<6<1) (n+1) 。8 机动目录上页下页返回结束
二、几个初等函数的麦克劳林公式 ( ) , (k) x f x = e (0) 1 ( 1,2, ) f (k ) = k = x e =1 + x 3! 3 x + + n ! x n + R (x) + n 2! 2 x + 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束