第1章 §1.5极限运算法则 燕列雅权豫西王兰芳李琪
§1.5 极限运算法则 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪 第 1 章
定理(1)有限个无穷小的和或积还是无穷小 (2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小 例3求lim Sinx x→>0X 解∵sinx|≤1 y lim -=0 X x->0x sIn x 利用定理(2)可知 m =0 x→
定理 (1)有限个无穷小的和或积还是无穷小 . (2) 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . o y x 例3 求 . sin lim x x x→ 解 sin x 1 0 1 lim = x→ x 利用定理 (2)可知 0 . sin lim = → x x x x x y sin =
极限的四则运算法则 定理2若limf(x)=A,img(x)=B,则有 (1) limf(x)±g(x)]=lmf(x)±img(x)=A±B (2)limf(x)g(x)= lim f(x)ling(x)=AB 特别地lim[Cf(x)=Cimf(x)(C为常数) im(x)=[mf(x)(n为正整数) (3) lim f(x lim f(x)A =B(B0) g(x) lim g(x) B 注:(i)定理2中(1)、(2)可分别推广到有限个 函数相加减以及相乘的情形 (i)上述四则运算法则对数列也成立
极限的四则运算法则 lim ( ) , lim ( ) , f x A g x B = = 则有 lim[ f (x) g(x)] = lim f (x) limg(x) = A B 定理 2 若 注: (ⅰ) 定理 2中（1）、（2）可分别推广到有限个 函数相加减以及相乘的情形 . lim[ f (x)g(x)] = lim f (x) limg(x) = AB 特别地， lim[C f (x)] = Clim f (x) ( C 为常数 ) n n lim[ f (x)] = [lim f (x)] ( n 为正整数 ) = （ B≠0） ( ) ( ) lim g x f x lim ( ) lim ( ) g x f x B A = （1） （2） （3） (ⅱ)上述四则运算法则对数列也成立
例1求下列函数的极限 x+3 (1)lim(x2-3x+4)(2)im x→)1x2-3x+4 x2+x-2 (3) lim x→1x2+3x-4 解()i(x2-3x+ 4)=limx2-3limx+lim 4 x→ x→>1 =(imx)2-3×1+4=12-3+4 2 (2)由(1),分母的极限不为零,故由商的极限 运算法则,有 x+3 lim(x+3) lim x+lim 3 →1 x→1 1+3 m 2 x>1 x2-3x+4 lim(x.-3x+4) x→>1
例1 求下列函数的极限 2 1 (1) lim( 3 4) x x x → − + 2 1 (1) lim( 3 4) x x x → 解 − + (2) 由(1)，分母的极限不为零，故由商的极限 运算法则，有 2 1 3 lim x 3 4 x → x x + − + 2 1 1 1 lim 3lim lim 4 x x x x x → → → = − + 2 1 3 (2) lim x 3 4 x → x x + − + 2 2 1 2 (3) lim x 3 4 x x → x x + − + − 2 2 1 (lim ) 3 1 4 1 3 4 x x → = − + = − + = 2 1 2 1 lim( 3) lim( 3 4) x x x x x → → + = − + 1 1 lim lim3 2 x x x → → + = 1 3 2 + = = 2
例1求下列函数的极限 (1)lim(x2-3x+4) x+3 (2) lim x→1x2-3x+4 x2+x-2 (3)lim x→1x2+3x-4 解(3)由于lim(x2+3x-4)=0,故不能直接用商的 x→1 极限运算法则,但当x≠时,有 x2+x-2(x+2)(x-1)x+2 x2+3x-4(x+4)(x-1)x+4 所以 x2+x-2 3 lim lim-2 xx2+3x-4x1x+45
例1 求下列函数的极限 2 1 2 1 2 2 1 (1) lim( 3 4) 3 (2) lim 3 4 2 (3) lim 3 4 x x x x x x x x x x x x → → → − + + − + + − + − 解 (3) 由于 极限运算法则，但当x≠1时，有 2 2 2 ( 2)( 1) 3 4 ( 4)( 1) x x x x x x x x + − + − = + − + − 2 1 lim( 3 4) 0 , x x x → + − = 故不能直接用商的 所以 2 2 1 2 lim x 3 4 x x → x x + − + − 2 4 x x + = + 1 2 lim x 4 x → x + = + 3 5 =
思考与练习 1.若limf(x)存在,lmg(x)不存在,问 lim[f(x)+g(x)是否存在?为什么? 答不存在.否则由g(x)=[f(x)+g(x)-f(x) 利用极限四则运算法则可知limg(x)存在,与已知条 件矛盾 2.求极限m ∴… n→1×22×3 n(n+1) 解原式=lm1-1)+(1-1)+…+(1 n→0 2 23 nn+ =lim(1-) n→)0 n+1
1. 若lim f (x)存在,limg(x)不存在, lim[ f (x) + g(x)] 是否存在 ? 为什么 ? 答 不存在 . 否则由 g(x) =[ f (x) + g(x)]− f (x) 利用极限四则运算法则可知 limg(x) 存在 , 与已知条 件矛盾. 1 1 1 lim 1 2 2 3 ( 1) n→ n n + + + + 解 原式 1 1 1 1 1 lim 1 n→ 2 2 3 1 n n = − + − + + − + 1 lim(1 ) n→ n 1 = − + = 1 2. 求极限 问 思考与练习