第五节、函数幂级数展开式的应用 教学目的:了解函数的幂级数的展开式的应用。 教学重点:如何利用函数的幂级数的展开式进行近似计算 教学难点:函数展开成幂级数的间接方法,近似计算中的误差估计 教学内容 定理:设函数f(x)在点和0的某一邻域U(x0)内只有各阶导数,则f(x)在该邻 域内能展开成 Taylor级数的充分条件是f(x)的 Taylor公式中的余项R2(x)当n→0时 的极限为零。 取x0=0时,称为函数f(x)的麦克劳林级数 函数展开成幂级数的方法 (1)直接方法:①求∫(x)的各阶导数 ②求(O(=12 ③写出幂级数x0nl 且求出R ④考察余项(x)是否趋于零?如趋于零,则∫(x)在(-R,B)内的幂级数 f“(0)2,,f)(0) 展开式为 Jf(x)=f(0)+f(0)x+ 2 x2+…(-R<x<R) 例可用此法分别求出e和smx的展开式: e2=1+x++…+-+…(-00<x<+0) 2N-1 sin x=x +…(-00<x<+0) (2)间接方法:利用幂级数可以逐项求导,逐项积分进行 cosX=【s x)=1 +…+(-1 +…(-00<x<+00) (2x) 注:必须熟记五个函数的幂级数展开式:e,Sx,cosx,ln(1+x),、(1+x) 2.函数的幂级数展开式的应用 (1).利用马克劳林级数计算371115之值 令原式9,则2-ng=amn=0,即P=x;原式sx (2).计算极限 X- Sin X x-(x-x3+ (3).近似计算 ①求e的近似值,要求误差不超过0.0001 解取e的马克劳林展开式
第五节、函数幂级数展开式的应用 教学目的：了解函数的幂级数的展开式的应用。 教学重点：如何利用函数的幂级数的展开式进行近似计算。 教学难点：函数展开成幂级数的间接方法，近似计算中的误差估计 教学内容： 1. 定理：设函数 在点 的某一邻域 内只有各阶导数，则 在该邻 域内能展开成Taylor级数的充分条件是 的Taylor公式中的余项 当 时 的极限为零。 取 时，称为函数 的麦克劳林级数 函数展开成幂级数的方法 ⑴直接方法：①求 的各阶导数 ②求 ③写出幂级数 ，且求出 ④考察余项 是否趋于零？如趋于零，则 在 内的幂级数 展开式为 例 可用此法分别求出 和 的展开式： ⑵间接方法：利用幂级数可以逐项求导，逐项积分进行 如 注:必须熟记五个函数的幂级数展开式： 2. 函数的幂级数展开式的应用 (1).利用马克劳林级数计算 之值 令原式= ，则 ，即 ∴原式 (2).计算极限 (3).近似计算 ①求 的近似值，要求误差不超过0.0001 解 取 的马克劳林展开式：
x=1+x+ 2|"3+…(-<x<+) e"81+x+ … 取 (n-1)作为近似式 es1+1+二+二+…+ 于是取x=1时 1 误差: n!(n+1)(n+2)l + n+1(n+2)(n+1) <-1+ 小(+1(2+12 (放大为等 比级数) 即<+1 nn 要求|<00010凭观察和试算 当取x=8时,888.87.64364-24.21(60(20)2 0.0001 es1+1+二+ +一2.71825 故取n=8,计算近似值 ②计算积分bx的近似值,准确到第四位小数。 sin 2 解当x=0时,令x n x 则x的马克劳林级数是x 3!57 Sin A 故 3.35.57.7 这是一个交错级数 < 由于第四项⑦·η10000,因此取前三项来计算积分的近似值,可准确到第四位小 0.9461 数,于是, 3.35.5 小结:幂级数是函数项级数中最基本的一类。它的特点是在其收敛区间绝对收 敛,且幂级数在收敛区间内可逐项微分和积分。由此第一次得到了一种函数的无限形式 的表达式(即幂级数展开式),将函数展为幂级数无论在理论研究方面还是在应用方面 都有着重大的意义。一个函数的幂级数展开式只依赖函数在展开点x0出的各阶导数,这 是 Taylor级数的优点。但从另一方面看,这又是它的缺点,因为求任意阶导数并不容 易,而且许多函数难以满足这样强的条件。还应看到,若想取级数的前项和作为函数的 近似值,则在离开展开点稍远一点的地方,取非常大才能使误差在所要求的限度内
取 作为近似式， 于是取 时， 误差： （放大为等 比级数） 即 ∵要求 ，凭观察和试算， 当取 时， 故取 ，计算近似值 ②计算积分 的近似值，准确到第四位小数。 解 当 时，令 ， 则 的马克劳林级数是 ， 故 ，这是一个交错级数， 由于第四项 ，因此取前三项来计算积分的近似值，可准确到第四位小 数，于是， 小结：幂级数是函数项级数中最基本的一类。它的特点是在其收敛区间绝对收 敛，且幂级数在收敛区间内可逐项微分和积分。由此第一次得到了一种函数的无限形式 的表达式（即幂级数展开式），将函数展为幂级数无论在理论研究方面还是在应用方面 都有着重大的意义。一个函数的幂级数展开式只依赖函数在展开点 出的各阶导数，这 是Taylor级数的优点。但从另一方面看，这又是它的缺点，因为求任意阶导数并不容 易，而且许多函数难以满足这样强的条件。还应看到，若想取级数的前项和作为函数的 近似值，则在离开展开点稍远一点的地方，取非常大才能使误差在所要求的限度内