第二节对坐标的曲线积分 教学目的:了解对坐标曲线积分的概念和性质,理解和掌握对坐标曲线积分的计 算法和应用 教学重点:对坐标曲线积分的计算 教学难点:对坐标曲线积分的计算 教学内容 对坐标的曲线积分的概念 1.变力沿曲线做功问题 设一质点在x面内从点A沿光滑曲线弧L移到点B,受力 F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y),其中P,在L上连续求上述过程所作的功 解:(1)分割先将L分成n个小弧段M212M2(=1.2,……,n) (2)代替用MA1M2=x2+4:近似代替M21M2△x=x1-x1, y2-y;1V(,7:)∈M21M2 (x,y)=P(xy)i+Q(x,y)近似代替M2M2内各点的力,则F(x,y)沿M21M所 做的功△28F(5,7:)M21M2 s∑[P(,7:)△x+g(5,7)△y] (3)求和 (4)取极限令=max(M1M1的长度}=12,…,n v=m∑[F(5,n)△x+g(5,7)△y] 定义:设L为x面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧,函数2(x,y),g(x,y)在L上 有界在L上沿L的方向任意插入一点列M21(x-1,y1)(=12…,n)把L分成n个有向 小弧段 11M2(=1,2,…,n,M0=A,M2=B △x=一不,4y1=另一y1,点(与,刀)为M12上任意取定的点如果当个小 ∑P(点2,7:)△x 弧段长度的最大值A→0时 的极限总存在,则称此极限为函数(x,y) 在有向曲线狐上对坐标x的曲线积分,记作』Px)类似地,如果 ∑Q(5,7)4y
第二节 对坐标的曲线积分 教学目的：了解对坐标曲线积分的概念和性质，理解和掌握对坐标曲线积分的计 算法和应用 教学重点：对坐标曲线积分的计算 教学难点：对坐标曲线积分的计算 教学内容： 一、对坐标的曲线积分的概念 1．变力沿曲线做功问题. 设 一 质 点 在 面 内 从 点 沿 光 滑 曲 线 弧 移 到 点 ， 受 力 ，其中 ， 在 上连续.求上述过程所作的功 解：（1）分割 先将 分成 个小弧段 （ 2 ） 代 替 用 近 似 代 替 ， 近似代替 内各点的力，则 沿 所 做的功 （3） 求和 （4）取极限 令 的长度 1． 定义： 设L为 面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，函数 在L 上 有界.在L上沿L的方向任意插入一点列 把L分成 个有向 小弧段 设 ，点 为 上任意取定的点.如果当个小 弧段长度的最大值 时， 的极限总存在，则称此极限为函数 在有向曲线弧L上对坐标 的曲线积分，记作 .类似地，如果
的极限值总存在,则称此极限为函数Q(x,y)在有向曲线弧L上对坐标y曲线积分,记作 e(x, y)ay 「2Px2a=m2P(5,) Q(xy)d=m(x,y)△y 说明:(1)当P(x)Q(xy)在乙上连续时,则P(x),J(x,)2在在 (2)可推广到空间有向曲线r上 (3)L为有向曲线弧,L为L与方向相反的曲线,则 P(x,y)2x-」P(x,y) e(x,y)dy_-_e(x,y)dy 4)设=+2,则2+的小2+a+g 此性质可推广到L=与1+L2……+L组成的曲线上 、对坐标的曲线积分的计算 的参数方程为 定理:设(x,y),Q(x,y)在L上有定义,且连续,L y=(), 当t单调地从变到A时,点M(x,y)从L的起点A沿L变到终点B,且),叫4在以a β为端点的闭区间上具有一阶连续导数,且四2()+2()≠0,则 (P0)00+ooy,且 P(x, ydx+o(x, y)dy 存在 P(x, ydx +e(x, y)ay 注意1)a:L起点对应参数,:L终点对应参数c不一定小于 2)若L由y=y(x)给出起点为a终点为6 =(x,y(观+x,y()]y(x) 3)此公式可推广到空间曲线T:x=4),y=(t),z=四() z++R=!10,.0)(0+O,,aOy +r[aa,w(t), a(t)]a(jat a:T起点对应参数,A:T终点对应参数 例1.计算,J,(2a-)ax-(a-y)”L:摆线x=a(-sint),y=a(1-cs从点 O(0.0)到点B(2x,0) 解:原式2[2a-(1-c-c2-(a-a(4-c09) a sin t]dt
的极限值总存在，则称此极限为函数 在有向曲线弧L上对坐标 曲线积分，记作 .即 ， 说明：（1）当 在 上连续时，则 ， 存在 （2）可推广到空间有向曲线 上 （3） 为有向曲线弧， 为 与方向相反的曲线，则 = ， = （4）设 = ，则 = + 此性质可推广到 = 组成的曲线上. 二、对坐标的曲线积分的计算 定理：设 ， 在 上有定义，且连续, 当 单调地从 变到 时，点 从 的起点 沿 变到终点 ，且 在以 ， 为 端 点 的 闭 区 间 上 具 有 一 阶 连 续 导 数 ， 且 ， 则 存 在 ， 且 = 注意1） ： 起点对应参数， ： 终点对应参数 不一定小于 2）若 由 给出 3）此公式可推广到空间曲线 ： ， ， ： 起点对应参数， ： 终点对应参数 例1． 计算： ：摆线 ， 从点 到点 . 解：原式=
[a(l+costp(1-cost)-a cost sin tdt 2z.1-cos 2t 2 a(1-cost)-a cost sin t]dt) 2(2-)oa-(a-y)=7a2 例,J+(+)bt:1)曲线y=x2)折线十2起点为(00,终点为(1 解1)原式=[xx4+(x+x2)4x=3 2)原式= yay+xdx x故一般来说,曲线积分当起点、终点固定时,与路径有关 练习:1计算 ()x2+2,其中乙为(1)的抛物线y=x2上从O(00到列1,一段弧 (2)抛物线x=y2上从O(0.0)到B()的一段弧.(3)有向折线DAB,这里O,A,B 依次是点(0,0),(1,0,(,1 结论:起点,终点固定,沿不同路径的积分值相等 2计算x+32y24小-x2yd从点4(321到点B(0,09的直线段AB 3.两类曲线积分的关系 有向曲线弧L的起点A终点B取弧长AM=s为曲线弧L x= x(s) 的参数AB=1则{y=y()0≤6≤1 x若x(s)y(s)在上具有一阶连续导数,P,Q在L上连续, ,Pax+@ay (=x(,y).+qx(,y)4)h L(P[x(), y(6)]cos &+e[x(s), y(s)]sin 0)ds ,cose=xsma是L的切线向量的方向余弦,且切线向量与L的方向一致, 又3+Qmh上x,y(a+x()y0)mAh J Pax+ edy (Pcos a+@sin 6)ds 同理对空间曲线r Pdx+edy+Rdz_L(Pcos a+e cos 6+RcosyXds 月,y为r在点(xy.)处切向量的方向角,用向量表示:Ax=t
= = = 例2． ：1）曲线 2）折线 起点为 ，终点为 . 解1）原式= = 2） 原式= = =1 故一般来说，曲线积分当起点、终点固定时，与路径有关 练习：1计算 ，其中 为（1）的抛物线 上从 到 一段弧. （2）抛物线 上从 到 的一段弧.（3）有向折线 ，这里 依次是点 ， ， 结论：起点，终点固定，沿不同路径的积分值相等. 2计算 从点 到点 的直线段 3． 两类曲线积分的关系 设有向曲线弧 的起点 终点 取弧长 为曲线弧 的参数. 则 若 在 上具有一阶连续导数， 在 上连续， 则 = = 其中 ， 是 的切线向量的方向余弦，且切线向量与 的方向一致， 又 = ∴ = 同理对空间曲线 ： = 为 在点 处切向量的方向角，用向量表示：
A={P,Q,2,t=(cosa,cosA,cosy为P上(2,y,2)主单位切向量, dr=tdst(ax,y,ain)为有向曲线元 小结:1.对坐标的曲线积分概念和性质2.对坐标的曲线积分的计算3两类曲线积分的关系 作业:P1424,5
， 为 上 主单位切向量， 为有向曲线元 小结：1.对坐标的曲线积分概念和性质 2. 对坐标的曲线积分的计算 3.两类曲线积分的关系 作业：P142 4，5