第四节多元复合函数求导法则 教学目的:掌握多元函数的求导法则,会求多元函数的导数,掌握全微分形 式不变性 教学重点:针对多元函数的表达状态(参数方程、复合函数),能够求其导 函数 教学难点:抽象复合函数的求导 教学内容 多元复合函数与隐函数的求导是多元函数微分学中的一个重要内容本届就是要把一元 函数微分学中的求导法则推广到多元函数中去 、复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理如果函数=如及V=()都在点t可导,函数z=f(a,0)在对应点(,)具 有连续偏导数,则复合函数z=f),(2)在点t可导,且其导数可用下列公式计 算 dt a dt t a dt 证设t获得增量△,这时4=0(、ν=()的对应增量为△a、△ν,由此,函 数z=f(a,y)对应地获得增量△z.根据假定,函数z=f(a,1)在点(x,ν)具有连续偏 导数,于是由第三节公式(6有 az a△a+aAv+E1 E2△v 这里,当△→0,△→0时,61→0,E2→0 将上式两边各除以Δt,得 At= as At+a At+E1 At +E1 At 因为当△t→>0时,△→0,△v→0,Δt→d,M→dt,所以 盘t=atdt+ 这就证明了复合函数z=),()在点t可导,且其导数可用公式(1)计算.证 毕 用同样的方法,可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形.例如, z=f(a,,,a=)、v=(t),=a(4)复合而得复合函数 J[ot),(t),a()] 则在与定理相类似的条件下,这复合函数在点t可导,且其导数可用下列公式计算 du az dy az da dt at dt+ a dt+ aw dt 在公式(1)及(2)中的导数d称为全导数
第四节 多元复合函数求导法则 教学目的：掌握多元函数的求导法则，会求多元函数的导数，掌握全微分形 式不变性. 教学重点：针对多元函数的表达状态（参数方程、复合函数），能够求其导 函数. 教学难点：抽象复合函数的求导 教学内容： 多元复合函数与隐函数的求导是多元函数微分学中的一个重要内容.本届就是要把一元 函数微分学中的求导法则推广到多元函数中去. 1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理 如果函数 及 都在点 可导，函数 在对应点 具 有连续偏导数，则复合函数 在点 可导，且其导数可用下列公式计 算： ＝ ＋ ． 证 设 获得增量 ，这时 的对应增量为 、 ，由此，函 数 对应地获得增量 ．根据假定，函数 在点 具有连续偏 导数，于是由第三节公式 有 这里，当 ， 时， ， ． 将上式两边各除以 ，得 ＝ ＋ ＋ ＋ ． 因为当 时， ， ， ， ，所以 = + 这就证明了复合函数 在点 可导，且其导数可用公式 计算．证 毕． 用同样的方法，可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形．例如，设 、 ， 复合而得复合函数 则在与定理相类似的条件下，这复合函数在点 可导，且其导数可用下列公式计算 ＝ ＋ ＋ ． 在公式 及 中的导数 称为全导数．
2.中间变量不是一元函数而是多元函数的情形 上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形 定理设z=f(4,y),=刘x,y),V=(xy)复合而得复合函数 J[如(x,y),(x,y 如果=(x,y)及y=x,y)都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数,函数 z=了(,1)在对应点(,1)具有连续偏导数,则复合函数(3在点(xy)的两个偏导数存 在,且可用下列公式计算: ax +a ax 事实上,这里求O时,将)看作常量,因此中间变量a及ν仍可看作一元函数而 应用上述定理.但由于复合函数(3以及=(x,y)和ν=叭(xy)都x、y是的二元函 数,所以应把()式中的d改为∂,在把t换成x,这样便由(1)得到(4)式同理由(1)式 可得到(5式 类似地,设2=(xy)、y=(xy及=a(x,y)都在点(x,y)具有对x及对 的偏导数,函数z=f(x,V,1)在对应点(a,,)具有连续偏导数,则复合函数 z=f[o(x,,),v(x,y), a(x, y)], 在点(xy)的两个偏导数都存在,且可用下列公式计算 Ox= a ax +a ax+ aw ax, az az a az av az aw =a+a动+ah 如果z=f(a,v,)具有连续偏导数,而2=(xy)具有偏导数,则复合函数 z=f[o(x,),x,yl 可看作上述情形中当ν=x,w=y的特殊情形,因此 ox= 1 0 从而复合函数(8)具有对自变量x及y的偏导数,且由公式(6)及(得 ax= as ax+ ax az a af 动=aay+a
2. 中间变量不是一元函数而是多元函数的情形 上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形． 定理 设 ， ， 复合而得复合函数 如 果 及 都 在 点 具 有 对 及 对 的 偏 导 数 ， 函 数 在对应点 具有连续偏导数，则复合函数 在点 的两个偏导数存 在，且可用下列公式计算： = + , = + ． 事实上，这里求 时，将 看作常量，因此中间变量 及 仍可看作一元函数而 应用上述定理．但由于复合函数 以及 和 都 、 是的二元函 数，所以应把 式中的 改为 ，在把 换成 ，这样便由 得到 式.同理由 式 可得到 式. 类似地，设 、 及 都在点 具有对 及对 的偏导数，函数 在对应点 具有连续偏导数，则复合函数 在点 的两个偏导数都存在，且可用下列公式计算： = + ＋ ， = + ＋ ． 如果 具有连续偏导数，而 具有偏导数，则复合函数 可看作上述情形中当 ， 的特殊情形，因此 ＝１， ＝０， ＝０， ＝１， 从而复合函数 具有对自变量ｘ及ｙ的偏导数，且由公式 及 得 ＝ ＋ ， ＝ ＋ ．
az df 注意这里与ax是不同的,O是把复合函数(8)中的y看作不变而对x的偏导数 ax是把(4,x,y)中的x及y看作不变而对x的偏导数.②与也有类似的区别 例8-18设z x+y.求a和 解ax=aOx+aak sny+e“cosν1 e- sin y x+ecos. 1 e[xsin( x +y)+cos(x +y) 例819设=f(x,y,2) 而2= y.求ax和 az 解ax=ax+azah=2 2x(1+2 y af a= a+az a=2ye' CoSy 2(y+ cosy)e 例820设z=+sint,而x=e',v=cost.求全导数dt dz az du f dt a dt t a dt t at =ve-u sin t+ cost aw aw 例8-1设η=(x十y+2,xz),了具有二阶连续偏导数,求ax及abz x)z,则Y=f(x,y) 为表达简便起见,引入以下记号 ff(u,v) 这里下标1表示对第一个变量u求偏导数,下标2表示对第二个变量v求偏导 数,同理有2、∫1、∫22等等 因所给函数由W=f(x,1)及=x+y+z,=x)z复合而成,根据复合函数 求导法则,有 x dx+ a ax
注意 这里 与 是不同的， 是把复合函数 中的 看作不变而对 的偏导数， 是把 中的 及 看作不变而对 的偏导数． 与 也有类似的区别 例8-18 设 而 ， ．求 和 ． 解 = + = = ， = + ＝ ＝ ． 例8-19 设 ，而 ．求 和 ． 解 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ． ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ． 例8-20 设 ， 而 ， ．求全导数 ． 解 ＝ ＋ ＋ ＝ = = ． 例8-21 设 ， 具有二阶连续偏导数，求 及 ． 解 令 , ，则 ． 为表达简便起见，引入以下记号： ＝ ， ＝ ， 这里下标1表示对第一个变量 ｕ求偏导数，下标2表示对第二个变量ｖ求偏导 数，同理有 、 、 等等. 因所给函数由 及 ， 复合而成，根据复合函数 求导法则，有 ＝ ＋ ＝ ＋
axa= a o12 求a及a时,应注意J1及2仍旧是复合函数,根据复合函数求导法则,有 d 1 d 1 au 1a 办,az=f11+xf12, df 2 af 2 au d 2 +a az= ll+ 于是 Oraz=f J12+yf2+y2 f 1+y(x+z)f 12 +xy*zf 22+yf 2 3全微分形式不变性 设函数z=∫(a,ν)具有连续偏导数,则有全微分 dz= a du+a dv 如果x、ν又是x、y的函数=(xy)、=以(x,y),且这两个函数也具有连续偏 导数,则复合函数 z=[纠(x,y),(x,y) 的全微分为 az 其中及分别由公式(4)和(5给出,把公式(4)及(5中的改及代入上式,得 az au az av az a az av ax av ax au ay av a dy a2aaa a a 由此可见,无论z是自变量z、的函数或者中间变量、v的函数,它的全微分形式 是一样的这个性质叫做全微分形式不变性 小结 本节要将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数。多元 复合函数的求导法则在多元函数微分学中起着重要作用。本节主要针对几类 普遍存在的复合函数的求导方法进行了介绍
＝ （ ＋ ）＝ ＋ ＋ ． 求 及 时，应注意 及 仍旧是复合函数，根据复合函数求导法则，有 ＝ ＋ ＝ ＋ ， ＝ ＋ ＝ ＋ 于是 ＝ ＋ ＋ + ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ． 3.全微分形式不变性 设函数 具有连续偏导数，则有全微分 ＝ ＋ ． 如果 、 又是 、 的函数 、 ，且这两个函数也具有连续偏 导数，则复合函数 的全微分为 ＝ ＋ ， 其中 及 分别由公式 和 给出，把公式 及 中的 及 代入上式，得 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ． 由此可见，无论 是自变量 、 的函数或者中间变量 、 的函数，它的全微分形式 是一样的.这个性质叫做全微分形式不变性. 小结： 本节要将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数。多元 复合函数的求导法则在多元函数微分学中起着重要作用。本节主要针对几类 普遍存在的复合函数的求导方法进行了介绍