第一节微积分基本定理 教学目的:理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理;熟悉牛顿 莱布尼兹公式 教学重点:牛顿-莱布尼兹公式 教学难点:建立积分上限函数的概念 教学内容: 、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 物体在一直线上运动,在这直线上取定原点、正方向、单位长度,使其成为 数轴,时刻时物体所有的位置为s(4),速度为v()(不妨设v)≥0) 物体在时间间隔[1,2]内经过的路程可以用速度函数(4)在[1,72]上的定积分来 表达,即1(x.另外,这段路程可以通过位置函数(4)在区间[71,]的增量来表 示,即:S(2)-S(1) 因此,20)k=8F 注意到S()=(),即(4)是v()的原函数 二、积分上限的函数及其导数 设(x)在[a上连续,并且设x为a,上任一点,设(=[fd 函数 中(x)具有如下性质 定理如果函数∫(x)在区间[a,]上连续,则积分上限函数 重Q)=[f [a,b] 上具有导数,并且它的导数是 ()=f(dt=f((asxsb 证:(1)当X 时 △4()=4(x+△)-4(x)=0d-.)=“f0=(△x 其中在x与△x之间 Φ(x)=lim △(x) 所以 (2)当x=a或b时,考虑其单侧导数,可得Φ(a)=f(a) ()=f(b) 定理如果函数f(x)在区间[b]上连续,则函数4()=f(是()的一个原 函数 Newton_ Le ibniz公式 定理如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则 f(x)dx= F(b)-F(a 证:因为F(x)与中(x)均是f(x)原函数,所以F(x)-(x)=c(asx≤b)
第一节 微积分基本定理 教学目的：理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理；熟悉牛顿 莱布尼兹公式 教学重点：牛顿---莱布尼兹公式 教学难点：建立积分上限函数的概念 教学内容： 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体在一直线上运动，在这直线上取定原点、正方向、单位长度，使其成为一 数轴，时刻 时物体所有的位置为 ，速度为 （不妨设 ）. 物体在时间间隔 内经过的路程可以用速度函数 在 上的定积分来 表达，即 .另外，这段路程可以通过位置函数 在区间 的增量来表 示，即： . 因此， . 注意到 ，即 是 的原函数. 二、积分上限的函数及其导数 设 在 上连续，并且设 为 上任一点，设 函数 具有如下性质： 定理 如果函数 在区间 上连续，则积分上限函数 在 上具有导数，并且它的导数是 . 证：（1）当 时， 其中 在 之间. 所以 （2）当 或 时，考虑其单侧导数，可得 ， . 定理 如果函数 在区间 上连续，则函数 是 的一个原 函数. 三 Newton —Leibniz 公式 定理 如果函数 是连续函数 在区间 上的一个原函数，则 . 证：因为 与 均是 原函数，所以
又因为」(x)x=()-(a,因此f(x)dx=F(b)-F(a) 为方便起见,把F(b)-F(a)记作[F(x) 上述公式就是 Newton- Leibniz公式,也称作微积分基本公式 例1计算下列定积分: √1 (1)5x2ax (2)1-11+x (3) 解:(1) 3333 dx=arctan n1-1n2=-1n2 例2计算y=sinx在[0,丌上与x轴所围成平面图形的面积 A in xdx 解 2 例3汽车以每小时36k的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以等加速度 a=-5m/s2刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了距离? 解:因为,当t=0时,vo 所以 而0=v(4)=10-5t,因此t=2.故 S=wd=[(10-52)d=10(m) 即:刹车后,汽车需要走10m才能停住
又因为 ，因此 . 为方便起见，把 记作 . 上述公式就是Newton —Leibniz公式，也称作微积分基本公式. 例1 计算下列定积分： （1） ； （2） ； （3） . 解：（1） （2） （3） 例2 计算 在[ ]上与 轴所围成平面图形的面积. 解： 例3 汽车以每小时 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度 刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了距离？ 解 ： 因 为 ， 当 时 ， ； ， 所 以 而 ，因此 .故 . 即：刹车后，汽车需要走 才能停住