第八节函数的连续性与间断点 教学目的:理解函数连续的概念,会判断函数间断点的类型,了解初等函数 的连续性和闭区间上连续函数的性质,并会应用这些性质 教学重点:连续的定义,间断点的分类 教学难点:连续的定义,间断点的分类 教学内容 函数的连续性 1函数在一点处连续的定义 对y=f(x),当自变量从x0变到x,称△x=x-而叫自变量x的增量,而 4y=∫(x+)-f(x)叫函数y的增量 定义设函数f(x)在U(列)内有定义如果当自变量的增量△x趋向于零时,对应的 函数的增量4也趋向于零即0坐lmIf(x+△x)-f(x)=0 那末就称函 数∫(x)在点x连续,x称为f(x)的连续点 它的另一等价定义是:设函数y=f(x)在点x的某一邻域内有定义,如果函数 f(x)当x→x时的极限存在,且等于它在点x0处的函数值∫(x0),即 lim f(x)=f(xo) 那么就称函数y=J(x在点x0连续 E-8"定义 ve>0,36>0,使当kx-x0|<6时,恒有f(x)-f(x0)<E 下面给出左连续及右连续的概念 lim.f(x)=f(*o-0 如果x→為0 存在且等于f(x0),即(x-0)=(x),就说函数 f(x)在点x0左连续,如果,7(=八+0存在且等于f(x),即 f(xo+0)=(xo),就说函数f(x)在点不右连续 定理:函数f(x在x处连续台是函数f(x在x处既左连续又右连续 x+2,x≥0 讨论函数f(x) 在x=0处的连续性 例1-17 解 lim f(x)=1m(x+2)=2=f(0), lim f(x)=lim(x-2)=-2* f(o 右连续但不左连续,故函数f(x)在点x=0处不连续 2、函数在区间上连续 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区 间上连续 如果函数在开区间(ab内连续,并且在左端点x=a处右连续 在右端点x=b左连续,则称函数f(x)在闭区间[a,b上连续 例1证明函数y=5nx在区间(-0,+∞内连续 证:任取x∈(-0
第八节 函数的连续性与间断点 教学目的：理解函数连续的概念，会判断函数间断点的类型，了解初等函数 的连续性和闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质 教学重点：连续的定义，间断点的分类 教学难点：连续的定义，间断点的分类 教学内容： 一、 函数的连续性 1 函数在一点处连续的定义 对 ，当自变量从 变到 ，称 叫自变量 的增量，而 叫函数 的增量. 定义 设函数 在 内有定义,如果当自变量的增量 趋向于零时,对应的 函数的增量 也趋向于零,即 或 ,那末就称函 数 在点 连续, 称为 的连续点. 它的另一等价定义是：设函数 在点 的某一邻域内有定义，如果函数 当 时 的 极 限 存 在 ， 且 等 于 它 在 点 处 的 函 数 值 ， 即 ，那么就称函数 在点 连续. 下面给出左连续及右连续的概念. 如果 存在且等于 ，即 ，就说函数 在 点 左 连 续 . 如 果 存 在 且 等 于 ， 即 ，就说函数 在点 右连续. 定理： 例1-17 解： 右连续但不左连续 , 2、函数在区间上连续 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区 间上连续. 例1 证：
sin x =2sin 4x Δ △x kos(x+)≤1.,则Ay≤2m 对任意的a当a≠0时,有nal0 即函数y=sinx对任意x∈(-0,+)都是连续的 最后我们给出结论:基本初等函数在其定义域内都是连续的 函数的间断点 函数f(x)在点x处连续必须满足的三个条件 (1)f(x)在点x处有定义 (2)imf(x)存在 如果上述三个条件中只要有一个不满足,则称函数f(x)在点x处 不连续(或间断),并称点x0为f(x的不连续点(或间断点) 设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义在此前提下,如果函数f(x)有下列三 种情形之一: (1)在X=x0没有定义: (2)虽在x=x0有定义,但x→不存在; (3)虽在x=x0有定义,且x→存在,但x→ lmnf(x)≠f(x0) 则函数f(x)在点x0为不连续,而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点 通常函数的间断点分为两类:点为函数f(x)的间断点,x着+(功 都存在,称为∫(第一类间断点:不是第一类间断点的间断点,称为第二类间断点 跳跃间断点 如果f(x)在点x处左,右极限都存在但f(x-0)≠f(x0+0,则称 点x0为函数(x)的跳跃间断点 可去间断点 如果f(x)在点x处的极限存在,但mf(x)=A≠f(x),或 f(x)在点x处无定义则称点x0为函数f(x)的可去间断点 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点 特点:函数在点x处的左、右极限都存在 -x,x≤0 讨论函数f(x) 在x=0处的连续性 1+x.x>0 解:f(0-0)=0,f(0+0)=1 f(0-0)≠f(0+0)
最后我们给出结论：基本初等函数在其定义域内都是连续的. 二、函数的间断点 设函数 在点 的某去心邻域内有定义.在此前提下，如果函数 有下列三 种情形之一： （1）在 没有定义； （2）虽在 有定义，但 不存在； （3）虽在 有定义，且 存在，但 ； 则函数 在点 为不连续，而点 称为函数 的不连续点或间断点. 通常函数的间断点分为两类：点 为函数 的间断点， 都存在，称 为 第一类间断点；不是第一类间断点的间断点，称为第二类间断点. 跳跃间断点 可去间断点 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点： 例2 解：
x=0为函数的跳跃间断点 例3 x,0≤x<1 讨论函数(x1={1x=1在x=处的连续性 y=1+x x 解:∵f(1)=1,f(1-0)=2,f(1+0)=2, m1/(x)=2≠f(1),x=0为函数的可去间断点
例 3 解 ：