第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化 率 教学目的:掌握复合函数的求导法则,熟练复合函数的求导方法,掌握隐函 数和参数方程确定的函数的求导方法 教学重点:复合函数的求导法则,隐函数求导 教学难点:理解复合函数的求导方法,隐函数和参数方程确定的函数的二阶 导数的求法,幂指函数的求导方法 教学内容 、隐函数求导 函数y=f(x)表示两个变量y与x之间的对应关系,这种对应关系可以用各种不同 方式表达前面我们遇到的函数,例如y=nx,y=hnx+√/1-x2等,这种函数表达 方式的特点是:等号左端是因变量的符号,而右端是含有自变量的式子,当自变量取定 义域内任一值时,由这式子能确定对应的函数值.用这种方式表达的函数叫做显函数.有 些函数的表达方式却不是这样,例如,方程x+y2-1=0表示一个函数,因为当变量x (∞,+∞)内取值时,变量y有确定的值与之对应.例如,当x=0时,y=1;当 x=-1时,y= 32 等等.这样的函数称为隐函数 般地,如果在方程F(x,y)=0中,当x取某区间内的任一值时,相应地总有满 足这方程的唯一的y值存在,那么就说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函 把一个隐函数化成显函数,叫做隐函数的显化.例如从方程x+y2-1=0解出 y=1-x,就把隐函数化成了显函数隐函数的显化有时是有困难的,甚至是不可能 的.但在实际问题中,有时需要计算隐函数的导数,因此,我们希望有一种方法,不管 隐函数能否显化,都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.下面通过具体例 来说明这种方法 例1求由方程e+xy-=0所确定的隐函数y的导数ax 解:我们把方程两边分别对x求导数,注意是x的函数.方程左边对x求导得 方程右边对求导得 由于等式两边对x的导数相等,所以 dy dy 从而 在这个结果中,分式中的y是由方程e+x-e=0所确定的隐函数 例2xy+e”=日,确定了y是x的函数,求y(0)
第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化 率 教学目的：掌握复合函数的求导法则，熟练复合函数的求导方法，掌握隐函 数和参数方程确定的函数的求导方法 教学重点：复合函数的求导法则，隐函数求导 教学难点：理解复合函数的求导方法，隐函数和参数方程确定的函数的二阶 导数的求法，幂指函数的求导方法 教学内容： 一、隐函数求导 函数 表示两个变量 与 之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同 方式表达.前面我们遇到的函数，例如 ， 等，这种函数表达 方式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定 义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值.用这种方式表达的函数叫做显函数.有 些函数的表达方式却不是这样，例如，方程 表示一个函数，因为当变量 在 内取值时，变量 有确定的值与之对应.例如，当 时， ；当 时， ，等等.这样的函数称为隐函数. 一般地，如果在方程 中，当 取某区间内的任一值时，相应地总有满 足这方程的唯一的 值存在，那么就说方程 在该区间内确定了一个隐函 数. 把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化.例如从方程 解出 ，就把隐函数化成了显函数.隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能 的.但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管 隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.下面通过具体例子 来说明这种方法. 例1 求由方程 所确定的隐函数 的导数 . 解：我们把方程两边分别对 求导数，注意 是 的函数.方程左边对 求导得 ， 方程右边对求导得 . 由于等式两边对x的导数相等，所以 ， 从而 . 在这个结果中，分式中的 是由方程 所确定的隐函数. 例2 ，确定了 是 的函数，求
解:y+xy3 x=0时y y(0 下面来看如何求形如y=(x)的函数的导数这类函数既不是幂函数也不是指数 函数,通常称为幂指函数.求导方法如下: 方法1 a_「nv e"[v(xlm(x)了 (x)lnu(*)+fu (x) v (x)1n u(x) v(x) 4【x 解:为了求这函数的导数,可以先在两边取对数,得my=(x)m(x) 上式两边对x求导,注意到y是x的函数,得 y=v(x)Inu(=)+u(x) 于是 y=yv(x)Inu(x) 故 y=u(x yv(x)Inu(x)+v(x) 由于对数具有化积商为和差的性质,因此我们可以把多因子乘积开方的求导运算, 通过取对数得到化简 例3求y (x>0)的导数 解:先在两边取对数,得y= 上式两边对x求导,注意到y是x的函数,得 y'=cos x In x+sin x y xIn x 于是 (=-1x-2) 例4求y(x-3×x-4)的导数 解:先在两边取对数(假定x>4),得 lny=[n(z-1)+hn(x-2)-hn(x-3)-hn(x-4) 上式两边对x求导,注意到y是x的函数,得 11 于是
解： ， ， 时 ， . 下面来看如何求形如 的函数的导数.这类函数既不是幂函数也不是指数 函数，通常称为幂指函数.求导方法如下： 方法1 解：为了求这函数的导数，可以先在两边取对数，得 ； 上式两边对 求导，注意到 是 的函数，得 于是 故 由于对数具有化积商为和差的性质，因此我们可以把多因子乘积开方的求导运算， 通过取对数得到化简. 例3 求 的导数. 解：先在两边取对数，得 ； 上式两边对 求导，注意到 是 的函数，得 ， 于是 . 例4求 的导数. 解：先在两边取对数（假定 ），得 ， 上式两边对 求导，注意到 是 的函数，得 于是
-x)(2 3-x(4-x) 当2<x<3时,y=(8-4 用同样方法可得与上面相同的结果. 隐函数求导方法小 1)方程两端同时对x求导数,注意把y当作复合函数求导的中间变量来看待,例 (n y) (2)从求导后的方程中解出y来 (3)隐函数求导允许其结果中含有y.但求一点的导数时不但要把x值代进去,还 要把对应的y值代进去 二、由参数方程确定的函数的导数 de 若由参数方程Uy=v()确定了y是x的函数,如果函数x=o()具有单调连续反函 数=列(x),且此反函数能与函数y=v)复合成复合函数,那么由参数方程 y=v()所确定的函数可以看成是由函数y=v)、t=列(x)复合而成的函数 y=列(x).现在,要计算这个复合函数的导数,为此,再假定函数x=c() y=v)都可导,而且少()≠0.于是根据复合函数的求导法则与反函数的导数公式, 就有 1y/ ( dy dt 上式也可写成 如果x=c)、y=)还是二阶可导的,由ax(还可导出y对x的二阶导数公 式 ( dt v(eo(e)-v()or(e)1 c() d2yv"()p()-y(t)o()
当 时， ； 当 时， ； 用同样方法可得与上面相同的结果. 隐函数求导方法小结： （1）方程两端同时对 求导数，注意把 当作复合函数求导的中间变量来看待，例 如 . （2）从求导后的方程中解出 来. （3）隐函数求导允许其结果中含有 .但求一点的导数时不但要把 值代进去，还 要把对应的 值代进去. 二、由参数方程确定的函数的导数 若由参数方程 确定了 是 的函数，如果函数 具有单调连续反函 数 ，且此反函数能与函数 复合成复合函数，那么由参数方程 所确定的函数可以看成是由函数 、 复合而成的函数 .现在，要计算这个复合函数的导数.为此，再假定函数 、 都可导，而且 .于是根据复合函数的求导法则与反函数的导数公式， 就有 ， 即 . 上式也可写成 . 如果 、 还是二阶可导的，由 还可导出 对 的二阶导数公 式： ， 即
。求捏线{x=a-轴D在=处的切线 y=a(1-cost) 方程 dy dy asin t- sin t dx i-2 解 当t=时, y a(-1)即y=x+a( 所求切线方程为 例6不计空气的阻力,以初速度v,发射角发射炮弹,其运动方程为 x=vot cos a of sin a-gt 求(1)炮弹在时刻的运动方向,(2炮弹在时刻4的速度大小 解 (1)在时刻的运动方向印轨迹在时刻的切线方向,可由切线的斜率来反映 y (vot sin a-gt) a) COS C vo cos c (2)炮弹在4时刻沿x,)轴方向的分速度为 b.o.dIa,=vof cos a)'t -=vo cos a dt l=(vot sin a-g/ /v = vo sin a-gt 在时刻炮弹的速度为 sin a+ 求由方程 x= a cos t 表示的函数的二阶导数 例7 解
例5 解: =1 所求切线方程为 例6 . 解： （1） 例7 解：
dy dy dt 3a sin'tcost dx 2(-an) dt 中=(-tana (a cos t)-3a cos*tsint 3a sint 相关变化率 设x=x()及y=y()都是可导函数,而变量x与y之间存在某种关系,从而 它们的变化率与出之间也存在一定关系,这样两个相互依赖的变化率称 为相关变化率 相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? 例8 汽球从离开观察员50米处离地面铅直上升其速率为40米/秒 当气球高度为500米时观察员视线的仰角增加率是多少? 解:设气球上升秒后,其高度为观察员视线的仰角为a,则 tan a= 500 上式两边对球求导得 da 1 sec dt500 =140米秒当h=50米时,2a=2 da 014度/分) 例9 河水以8米3秒的体流量流入水库中,水库形状是长为4000,顶角为 120°的水槽,问水深20米时,水面每小时上升几米? 解:设时刻t水深为h()水库内水量为(,则 ()=400032 上式两边对求导得 dv Bh
三、相关变化率 相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? 例8 解： 例9 解：
2880米2小时,当z=20米时 010米/小时