第一节定积分的元素法 教学目的:1.熟练掌握用定积分表达一些几何量(如面积、体积和弧长等)的方 法 2.了解如何用定积分表达一些物理量(如功)。 教学重点:定积分的几何应用——平面图形的面积,旋转体体积,平面曲线的弧 长,定积分的物理应用—变力作功,水压力。 教学难点:定积分元素法 教学内容 一再论曲边梯形面积计算 设设(x)在区间[ab上连续,且f()20,求以曲线y=f(x)为曲边,底为a]的曲 形的面积A y=f(r) △A41=f(1) 0 X1 b 1.化整为零 用任意一组分点a=<万<…<<=b将区间分成n个小区间[1,],其长 度为 △万=一不1(=12,…,n), 并记=max{△x,A,…△ 相应地,曲边梯形被划分成n个小曲边梯形,第z个小曲边梯形的面积记为 A(=1,2…,n) A=∑ΔA 于是 2、以不变高代替变高,以矩形代替曲边梯形,给出“零”的近似值 Af(2)AV5∈[x,x](=1,2…,n) 3、积零为整,给出“整”的近似值 As∑f(2)△x 4、取极限,使近似值向精确值转化 A=1m∑f(4)Ax=。f(x)dx 上述做法蕴含有如下两个实质性的问题
第一节 定积分的元素法 教学目的：1．熟练掌握用定积分表达一些几何量（如面积、体积和弧长等）的方 法； 2．了解如何用定积分表达一些物理量（如功）。 教学重点：定积分的几何应用——平面图形的面积，旋转体体积，平面曲线的弧 长，定积分的物理应用——变力作功，水压力。 教学难点：定积分元素法 教学内容： 一 再论曲边梯形面积计算 设 在区间 上连续，且 ，求以曲线 为曲边，底为 的曲 边梯形的面积 。 1.化整为零 用任意一组分点 将区间分成 个小区间 ，其长 度为 ， 并记 . 相 应 地 ， 曲 边 梯 形 被 划 分 成 个 小 曲 边 梯 形 ， 第 个 小 曲 边 梯 形 的 面 积 记 为 . 于是 . 2、以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值 . 3、积零为整，给出“整”的近似值 . 4、取极限，使近似值向精确值转化 . 上述做法蕴含有如下两个实质性的问题：
(一)、若将[a,b]分成部分区间[x1,](=12,…,n),则A相应地分成部分量 A=∑△4 这表明:所求量A对于区间[a,b]具有可加性. (二)、用f(5近似△4,误差应是△的高阶无穷小 f(2)△x 只有这样,和式 的极限方才是精确值A 因此确定△Af()△x(△A4-f(5)△x=0(Ax)是关键。 通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼,我们可以给出用定积分计算某个量的条 件与步骤 、元素法 能用定积分计算的量U7,应满足下列三个条件: (1)U与变量x的变化区间[a,b]有关 (2)U对于区间[a,b]具有可加性; (3)乙部分量△乙2可近似地表示成(与)A万 2、写出计算U的定积分表达式步骤 (1)根据问题,选取一个变量x为积分变量,并确定它的变化区间[a,b] (2)设想将区间[a,b]分成若干小区间,取其中的任一小区间[x,x+ax],求出它所对应的部 分量△U的近似值 △Usf(x)kx(f(x)为[a,b]上的连续函数) 则称f(x)dx为量U的元素,且记作4U=f(x)x; (3)、以U的元素d乙作被积表达式,以[a,b]为积分区间,得 U= f(r)dx 这个方法叫做元素法,其实质是找出U的元素d的微分表达式U=f(x)dx(a≤x≤b) 因此,也称此法为微元法
(一)、若将 分成部分区间 ，则 相应地分成部分量 ，而 这表明：所求量 对于区间 具有可加性. (二)、用 近似 ，误差应是 的高阶无穷小. 只有这样，和式 的极限方才是精确值 . 因此确定 是关键。 通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条 件与步骤. 二、元素法 1、能用定积分计算的量 ，应满足下列三个条件： (1) 与变量 的变化区间 有关； (2) 对于区间 具有可加性； (3) 部分量 可近似地表示成 . 2、写出计算 的定积分表达式步骤 (1) 根据问题，选取一个变量 为积分变量，并确定它的变化区间 ； (2) 设想将区间 分成若干小区间，取其中的任一小区间 ，求出它所对应的部 分量 的近似值： ( 为 上的连续函数 ) 则称 为量 的元素，且记作 ； (3)、以 的元素 作被积表达式，以 为积分区间，得 . 这个方法叫做元素法，其实质是找出 的元素 的微分表达式 因此，也称此法为微元法
