第一节二重积分的概念与性质 曲顶柱体的体积与平面薄片的质量 1、曲顶柱体的体积 设有一空间立体豆,它的底是x面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准 线,而母线平行于z轴的柱面它的项是曲面z=∫(x,y) 当(x,y)EDf(x,y)在D上连续且f(x,y)20,以后称这种立体为曲顶柱 曲顶柱体的体积y可以这样来计算: (1)、用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域△1,△a2x…,△Gn,以这 些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体 2分划成n个小曲顶柱体△Q21,△C2;…△S (假设△G:所对应的小曲顶柱体为△飞2,这里△O既代表第主个小区域,又表示它 的面积值,AC既代表第主个小曲顶柱体,又代表它的体积值) f(52,n1) y y x y=∑△ 从而 (将g 化整为零) (2)、由于f(x,y)连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大因此,可以将 小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是
第一节 二重积分的概念与性质 一、曲顶柱体的体积与平面薄片的质量 1、曲顶柱体的体积 设有一空间立体 ,它的底是 面上的有界区域 ,它的侧面是以 的边界曲线为准 线,而母线平行于 轴的柱面,它的顶是曲面 . 当 时, 在 上连续且 ,以后称这种立体为曲顶柱 体. 曲顶柱体的体积 可以这样来计算: (1)、用任意一组曲线网将区域 分成 个小区域 ,以这 些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于 轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体 分划成 个小曲顶柱体 . （假设 所对应的小曲顶柱体为 ,这里 既代表第 个小区域,又表示它 的面积值, 既代表第 个小曲顶柱体,又代表它的体积值.) 从而 (将 化整为零) (2)、由于 连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大.因此,可以将 小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是
A2sf(517;(V(5刃)∈A叮 △2 (以不变之高代替变高,求“的近似值) (3)、整个曲顶柱体的体积近似值为 Σ∫(571)Aa1 (积零为整,得曲顶柱体体积之近似值) (4)、为得到矿的精值,只需让这个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩 为此,我们引入区域直径的概念 个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零 设n个小区域直径中的最大者为,则 n y= lim >f(s,n, )4o 元-0g=1 (取极限让近似值向精确值转化) 2、平面薄片的质量 设有一平面薄片占有X面上的区域D,它在(x,y)处的面密度为 p(x,y),这里八(x,y)>0,而且八(x,y)在D上连续,现计算该平面薄片的质量 M. △ y(5,n) 将D分成n个小区域△1,Aa2;…Aa用 Aσ i的直径,i既代表第E个 小区域又代表它的面积 λ=max{λ 当1≤<n 很小时,由于p(x,y)连续,每小片区域的质量可近似地看 作是均匀的,那么第小i块区域的近似质量可取为 p(5;,,)△G,V(5;,7,)∈△a
(以不变之高代替变高, 求 的近似值) (3)、整个曲顶柱体的体积近似值为 (积零为整, 得曲顶柱体体积之近似值) (4)、为得到 的精值,只需让这 个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩. 为此,我们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者. 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零. 设 个小区域直径中的最大者为 , 则 (取极限让近似值向精确值转化) 2、平面薄片的质量 设有一平面薄片占有 面上的区域 , 它在 处的面密度为 ,这里 ,而且 在 上连续,现计算该平面薄片的质量 . 将 分成 个小区域 用 记 的直径, 既代表第 个 小区域又代表它的面积. 当 很小时, 由于 连续, 每小片区域的质量可近似地看 作是均匀的, 那么第小 块区域的近似质量可取为
M= ZPE, n)Ao i=1 M=imz以(5,711 两种实际意义完全不同的问题,最终都归结同一形式的极限问题.因此,有必要 撇开这类极限问题的实际背景,给出一个更广泛、更抽象的数学概念二重积分 、二重积分的定义 设f(x,y)是闭区域D上的有界函数,将区域D分成个小区域 △1,△2,…,△an 其中:厶o;既表示第i个小区域,也表示它的面积,表示它的直径 元=max{λ} v(5,n1)∈△G 作乘积 ∫(E;,n)Aσ,(i=1,2,…,n) ∑∫(4,,)Aa, 作和式=1 lm∑∫(51,n1)6存在,则称此极限值为函数f(x,y)在区域 若极限2-0g=1 ∫f∫(x,yyda D上的二重积分,记作D ∫f(x,yya=lim∑∫(5;,n 即 -0 其中:∫(x,y)称之为被积函数, ∫(x,y)d称之为被积表达式,do称之为面积元素, x,y称之为积分变量,D称之为积分区域 ∑J(51,n)Aσ 称之为积分和式 4、几个注意事项 (1)、二重积分的存在定理 若∫(x,y)在闭区域D上连续,则∫(x,y)在D上的二重积分存在
于是 两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题.因此,有必要 撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念___ 二重积分. 二、二重积分的定义 设 是闭区域 上的有界函数, 将区域 分成个小区域 , 其中: 既表示第 个小区域, 也表示它的面积, 表示它的直径. 作乘积 作和式 若极限 存在,则称此极限值为函数 在区域 上的二重积分,记作 . 即 其中: 称之为被积函数, 称之为被积表达式, 称之为面积元素, 称之为积分变量, 称之为积分区域, 称之为积分和式. 4、几个注意事项 (1)、二重积分的存在定理 若 在闭区域 上连续, 则 在 上的二重积分存在
声明:在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在 ∫(x,yxσ (2) 中的面积元素d象征着积分和式中的△σ d(■da 0 x 由于二重积分的定义中对区域D的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线 来划分区域D,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩 形,因此,可以将d记作ddy(并称ddy为直角坐标系下的面积元素),二重积分 ∫(x,yd 也可表示成为D (3)、若∫(x,y)20,二重积分表示以∫(x,y)为曲顶,以D为底的曲顶柱体的体 积 、二重积分的性质 二重积分与定积分有相类似的性质 【线性性质】 ∫a.f(x,y)+·8(x,y)la=a∫(x,y)da+·』g(x,y)]da 其中:a,尸是常数 2、【对区域的有限可加性】 若区域D分为两个部分区域D,D,则 ∫f(x,y)du-』∫(x,y)da+』∫(x,y)do 3、若在D上,f(x,y)=1,σ为区域D的面积则 σ=‖1dσ=do 几何意义:高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积 4、若在D上,f(x,y)≤g(x,y),则有不等式 J/(,y) ax,y)do 特别地,由于-|(x,y)sf(x,y)s(x,y),有
声明:在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在. (2)、 中的面积元素 象征着积分和式中的 . 由于二重积分的定义中对区域 的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线 来划分区域 ,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩 形,因此,可以将 记作 (并称 为直角坐标系下的面积元素),二重积分 也可表示成为 . (3)、若 ,二重积分表示以 为曲顶,以 为底的曲顶柱体的体 积. 三、二重积分的性质 二重积分与定积分有相类似的性质 1、【线性性质】 其中: 是常数. 2、【对区域的有限可加性】 若区域 分为两个部分区域 ,则 3、若在 上, , 为区域 的面积,则 几何意义: 高为 的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积. 4、若在 上, ,则有不等式 特别地,由于 ，有
,)( 5、【估值不等式】 设M与m分别是∫(x,y)在闭区域D上最大值和最小值,是M的面积,则 m:aS』(x,y)dasM:a 6、【二重积分的中值定理】 设函数∫(x,y)在闭区域D上连续,是D的面积,则在D上至少存在一点 5,刀),使得 J5(,,)do=f(5,n)o 例1估计二重积分 =2+4y3+9 的值,D是圆域x2+y≤4 解:求被积函数f(x,y)=x2+4y2+9在区域D上可能的最值 2x=0 a =0 (00)是驻点,且∫(0,0)=9 在边界上,f(x,y)=x2+4(4-x2)+9=25-3x2(2≤x≤2) 13Sf(x,y)≤25 25 Imin 于是有 36丌=9.4丌0,而血n(x+y)<0,故由二重积分的 性质得1≤l2≤l3 小结二重积分的定义(和式的极限) 二重积分的几何意义(曲顶柱体的体积) 二重积分的性质
5、【估值不等式】 设 与 分别是 在闭区域 上最大值和最小值, 是 的面积,则 6、【二重积分的中值定理】 设函数 在闭区域 上连续, 是 的面积,则在 上至少存在一点 ,使得 例1估计二重积分 的值, 是圆域 . 解: 求被积函数 在区域 上可能的最值 是驻点,且 ； 在边界上, , , 于是有 例2比较积分 ， 的大小， 其中 是由直线 和 所围成的. 解：因为积分域 在直线 的下方，所以对任意点 ，均有 ，从而有 ，而 ，故由二重积分的 性质得 . 小结 二重积分的定义（和式的极限） 二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积） 二重积分的性质
作业教材147习题3-(1)(3)、4(2)(3)
作业 教材 习题3-（1）（3）、4（2）（3）