第三节幂级数 教学目的:了解幂级数的收敛域的构造及求法,如何将函数展开成幂级数, 寒暑的幂级数展开式的应用。 教学重点:幂级数收敛域的求法,函数展开成幂级数的充要条件。 教学难点:幂级数收敛半径的求法,函数展开成幂级数的间接方法,近世计 算中的误差估计 教学内容 如果级数41(x)+42(x)+23(x)+…+22(x)+…的各项都是定义在某区间中的 函数,就叫做函数项级数。当自变量x取特定值,如x=x0∈4时,级数变成一个数项 ∑2(x) 级数x1 如果这个数项级数收敛,称为x0函数项级数-1 的收敛点,如发 散,称x0为发散点,一个函数项级数的收敛点的全体构成它的收敛域 幂级数的收敛域 形如x-0 的幂级数 ∑x=1+x+x2+…+x2+… 从简单的一个幂级数 公比为x的等比级数,当 xR内发散 因此关于收敛半径的求法有如下定理 ∑ax2 已给幂级数x-0 设当n充分大以后都有ax≠0,且 =(0≤P≤+0) R= 0<0<+0时 (2)当A=0 时,R=+0 (3)当=+0时,R=0 例1:求下列各幂级数的收敛域
第三节 幂级数 教学目的：了解幂级数的收敛域的构造及求法，如何将函数展开成幂级数， 寒暑的幂级数展开式的应用。 教学重点：幂级数收敛域的求法，函数展开成幂级数的充要条件。 教学难点：幂级数收敛半径的求法，函数展开成幂级数的间接方法，近世计 算中的误差估计 教学内容： 如果级数 的各项都是定义在某区间 中的 函数，就叫做函数项级数。当自变量 取特定值，如 时，级数变成一个数项 级数 。如果这个数项级数收敛，称为 函数项级数 的收敛点，如发 散，称 为发散点， 一个函数项级数的收敛点的全体构成它的收敛域。 一、幂级数的收敛域 1. 形如 的幂级数 从简单的一个幂级数 公比为 的等比级数，当 时收敛；当 时发散出发，因为它的收敛域是以0为中心，半径为1的对称区 间，引课到 收敛域构造的阿贝尔定理： 若有 使 收敛，则当 时，幂级数 绝对收敛；若有 使 发散，则当 时，幂级数 发散。 定理 1. (Cauchy-Hadamard) 对冪级数 ， 总存在非负数 ， 使其在 内绝对收敛， 在 内发散. 因此关于收敛半径的求法有如下定理： 已 给 幂 级 数 ， 设 当 充 分 大 以 后 都 有 ， 且 ，则: ⑴当 时， ⑵当 时， ⑶当 时， 例 1：求下列各幂级数的收敛域
7 1 当x=1时,级数成为xn(发散) 当x=-1时,级数成为和01(收敛) 收敛域为[-11 级数中只出现x的偶次幂,缺项.∴不能直接用定理来求R N+1 2(x) 可设 ,由比值法 可知当21,即√,幂级数发散,故R=E y 当x=土√2时,级数成为妇2,它是发散的,因此该幂级数的收敛域是 幂级数一般形式熟 (x-)的讨论,可用变换x而=y,使之成为24”进 二、幂级数的运算 设幂级数 及 bo+b1x+b2x2+…+bny+ 分别在区间(-R,R)及(-R′,R′)内收敛,对于这两个幂级数,有下列四则运算: 加减法 (a0+a1x+a2x2+…+any+…)±(bo+b1x+b2y =(a+bo)+(a1±b1)x+(a2+b2)x2+…+(an+bn)x+… 乘法 (aotajxta 1+…)·(b0+b1x+b2x2+…+bnx+… = ao bo+( ao b1+aj bo)r+ ao b2+aj b1+ a2 bo)x2+ bo) 可以证明上2式在(-R,R)与(-R,R)中较小的区间内成立.所以有
⑴ ∵ ∴ 当 时，级数成为 （发散） 当 时，级数成为 （收敛） ∴收敛域为 ⑵ ∵级数中只出现 的偶次幂，缺项. ∴不能直接用定理来求 可设 ，由比值法 可知当 ，即 ，幂级数绝对收敛 当 ，即 ，幂级数发散，故 当 时 ， 级 数 成 为 ， 它 是 发 散 的 ， 因 此 该 幂 级 数 的 收 敛 域 是 幂级数一般形式 的讨论，可用变换 ，使之成为 进 行。 二、幂级数的运算 设幂级数 a0+a1x+a2x 2+…+anx n+… 及 b0+b1x+b2x 2+…+bnx n+… 分别在区间（-R,R）及（-R′,R′）内收敛,对于这两个幂级数，有下列四则运算： 加减法： (a0+a1x+a2x 2+…+anx n+…)±(b0+b1x+b2x 2+…+bnx n+…) =(a0± b0)+(a1± b1)x+( a2±b2)x 2+…+(an±bn) x n+… 乘法： (a0+a1x+a2x 2+…+anx n+…)×(b0+b1x+b2x 2+…+bnx n+…) = a0 b0+( a0 b1+ a1 b0 )x+( a0 b2+ a1 b1+ a2 b0 ) x2+… +( a0 bn +a1 bn-1 +…+an b0) x n+… 可以证明上2式在（-R,R）与（-R′,R′）中较小的区间内成立.所以有:
∑ax2∑bx 定理设0 26-"的收敛域分别为D2,D2,则 ∑ax2土乙bx2=E(a土b)x2,(x∈D1∩D2), C乙ax2)Cbx2)=E(ab 2)x2,(x∈D1∩D2), 幂级数的和函数有下列重要性质 ∑ax 性质1幂级数x-0的和函数s(x)在其收敛域/上连续 性质2幂级数8-0的和函数s(x)在其收敛域/上可积,并有逐项积分公式 s(x)+Eax2k=∑ax2 (x∈D) 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 性质3幂级数x-0的和函数s(x)在其收敛区间(-R,R)内可导,且有逐项求导公式 s(x)=C乙ax)=∑(a2x”)=m2x,x|<R 逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 例2:求幂级数26x+1的和函数 解先求收敛域由”→0a”1+2得收敛半径R=1 在端点x=1处,幂级数成为xn+1,是收敛的交错级数 在端点x=1处,幂级数成为x-n+1,是发散的因此收敛域为-1,1 s(x)=∑二,x∈[-1),x(x)=∑ 设和函数为sx),即 0n+1 于是 -0n+1 1+x+x2+ (-1<x<1) 利用性质3,逐项求导,并由1-x [x5x)丁 ∑ 得 x1-0x<1 -ax=-ln(1-x),(-1≤x≤1) 对上式从0到x积分,得 于是,当x≠0时,有 s(x)=--ln(1-x) 而()可由(0=a0=1得出 故 n(1-x),x∈[-10)(0,1) s(x
定理 设 , 的收敛域分别为 , 则 (1) (2) 幂级数的和函数有下列重要性质： 性质1 幂级数 的和函数s(x)在其收敛域I上连续. 性质2 幂级数 的和函数s(x)在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 性质3 幂级数 的和函数s(x)在其收敛区间(-R,R)内可导，且有逐项求导公式 逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 例2: 求幂级数 的和函数. 解 先求收敛域.由 得收敛半径R=1. 在端点x=-1处，幂级数成为 ，是收敛的交错级数； 在端点x=1处，幂级数成为 ，是发散的.因此收敛域为I=[-1，1]. 设和函数为s(x)，即 于是 利用性质3，逐项求导，并由 得 对上式从0到x积分，得 于是，当 时，有 而s(0)可由s(0)=a0=1得出， 故
