第1章 §1.2数列的极限 燕列雅权豫西王兰芳李琪
§ 1.2 数列的极限 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪 第1章
数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代数 及初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世 纪的顽强探索的结果 拉夫纶捷夫 一.极限思想 二.数列极限 三.收敛数列的性质
数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代数 及初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世 纪的顽强探索的结果． 拉夫纶捷夫 一. 极限思想 二. 数列极限 三. 收敛数列的性质
极限思想 1、割圆术 割之弥细,所失弥 少,割之又割,以至 于不可割,则与圆周 合体而无所失矣 东汉公元250年左右 刘徽 《九章算术注》 和《海岛算经》
“割之弥细，所失弥 少，割之又割，以至 于不可割，则与圆周 合体而无所失矣” 1、割圆术 ——刘徽 一 .极限思想 公元250年左右 《九章算术注》 和《海岛算经》 东汉
设有半径为r的圆,用其内接正n边形的面积 An逼近圆面积S 如图所示,可知 A=n2·rsin-rcos 2不 nr sin-COS (n=3,4,5,…) 当n无限增大时,A无限逼近S
r 设有半径为 r 的圆 , A n 逼近圆面积 S . n 如图所示 , 可知 A n = n 1 2 sin cos 2 r r n n ( n = 3, 4, 5, ) 当 n 无限增大时, A n 无限逼近 S . 用其内接正 n 边形的面积 2 nr sin cos n n =
2.截杖问题 一尺之棰,日截其半,万世不竭” 《庄子天下篇》 设杖长为1个单位 第一天截下的杖长为x1=1/2; 第二天截下的杖长总和为x2=1/2+1/22 第n天截下的杖长总和为 xn=1/2+1/22+…+1/2n=1-1/2n 当n无限增大时,x无限逼近1
2. 截杖问题 “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 第二天截下的杖长总和为x2=1/2＋1/22； 第一天截下的杖长为x1=1/2； … 第n天截下的杖长总和为 xn=1/2＋1/22 + … ＋ 1/2n =1－1/2n 《庄子·天下篇》 设杖长为1个单位. 当 n 无限增大时, n x 无限逼近 1
二数列极限 1数列的定义 定义1以自然数n为自变量的函数xn=f(n) 当n依次取1,2,…,n,∴时所得到的一列数 x1,x2,…,n"… 称为无穷数列,简称数列.可简记为{xn}数列 中的每个数称为数列的项,x称为数列的通项. 例如(1)xn= (2)几何数列或等比数列xn=aq q,q,4,…q 其中a≠0,q≠01,q称为公比
二.数列极限 1.数列的定义 定义1 以自然数n为自变量的函数xn =f(n) , 当n依次取1，2，…， n，…时所得到的一列数 x1 ， x2 ，… ， xn ， … 中的每个数称为数列的项, xn称为数列的通项. 称为无穷数列，简称数列． 可简记为 {xn },数列 例如 1 1 1 1 1 2 3 n x n n (1) = ：， ， ， ，， (2) 几何数列或等比数列 2 3 1 , , , , , n a aq aq aq aq ， − 其中 a≠0，q≠0,1,q称为公比 1 : n n x aq − =
2.有界数列 设有数列{n},若彐M>0,使得对Mn∈N, 都有xn≤M,则称数列x是有界数列 否则称为无界数列 例如{x,}={(1)}有界 {xn}={2}无界 数列a,ag,a2,aq3 当满足条件|<1时,是有界数列
2. 有界数列 设有数列{xn }，若 M 0, 使得对 n N , + 都有 xn M ，则称数列{xn }是 否则称为无界数列． 有界数列． 例如 ( 1) n xn = − 有界 2 n xn = 无界 a, aq, aq 2 , aq 3 , ，aq n−1 , 当满足条件 q 1 时，是有界数列． 数列
3.数列的单调性 设有数列{xn} (1)若对自然数n,总有xn≤xn,则称 数列{xn}是单调增数列 (2)若对自然数n,总有xn≥xn1,则称 数列{xn是单调减数列 例如{xn}={2"}是单调增数列 xn}={}是单调减数列
3. 数列的单调性 设有数列{xn } ，则称 单调增数列． (1)若对自然数n， 总有 n n+1 x x 数列{xn }是 ，则称 单调减数列． (2)若对自然数n， 总有 n n+1 x x 数列{xn }是 例如 2 n xn = 是单调增数列． 1 xn n = 是单调减数列．
4.数列的极限 观察数列{1+(1y21当n→∞时的变化趋势 1.7 515 1.2 0.7 505 0.2 24681012
4. 数列的极限 o 2 4 6 8 10 12 n 2 0.5 1 0.2 5 0.7 5 1.2 5 1.5 1.7 5 当n→∞时的变化趋势 + − − n n 1 1 ( 1) 观察数列 1
问题1:当n无限增大时,x是否无限接近于 某一确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察: 当n无限增大时,x无限接近于1 问题2:“无限接近意味着什么?如何用数学 语言刻划它 1 xn-1=(-1)1= nn 给定6>0.只要n>N(=[]),有n-l<成立
问题1: 当n无限增大时， xn是否无限接近于 某一确定的数值？如果是，如何确定？ 问题2: “无限接近”意味着什么？如何用数学 语言刻划它. xn − 1 = n n n 1 1 ( 1) 1 − = − 通过上面演示实验的观察: 当n无限增大时， xn无限接近于1． 0, ε n > N 1 只要 (=[ ]), 1 . n ∴给定 有 x − 成立