第3章 §32洛必达法则 燕列雅权豫西王兰芳李琪
§3.2 洛必达法则 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪 第3章
洛比塔法则 函数的性态 微分中值定理 导数的性态 本节研究 函数之商的极限m()(0或型 g(x)0 转化洛必达法则 导数之商的极限mnf(x) g(x)
( ) ( ) lim g x f x 微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 0 0 ( 或 型) ( ) ( ) lim g x f x 本节研究: 洛必达法则 洛比塔法则
1.或-型未定式 定理(洛必达法则 l)limf(x)=lmF(x)=0或imf(x)=∞,imF(x)=∞ x →a xX→a x→a x→a 2)f(x)与F(x)在∪a)内可导,且F(x)≠0 3)1mf④在(或为) x→>aF"(x) lim/(r) lim x→a F(x xa F(x) 说明:定理中x→>a换为 x→a,x→a,x→∞,x→)+o,x→)- 之一,条件2)作相应的修改,定理仍然成立
( ) ( ) 3) lim F x f x x a → 存在 (或为 ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x a x a f x f x → → F x F x = 2) f (x)与F(x) 在 (a)内可导, 且F(x) 0 定理 (洛必达法则) lim ( ) , lim ( ) x a x a f x F x → → 1) lim ( ) lim ( ) 0 或 = = x a x a f x F x → → = = 说明: 定理 中 x →a 换为 , → + x a , → − x a x →, x →− 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理 仍然成立. x → +, 1. 0 0 或 型未定式
例1求lim x->0 2 型 x 解原式=lime= x→>02x-1 tanx-=x 例2求1im 型 x→>0x-Snx 解注意到sinx~x 2 原式=lim tanx-x sec x =lim x->0 x->03x tan x lim x->03x sec- x=1+ tanx 3
例1 求 解 原式 型 0 0 2 0 1 lim . x x e → x x − − 0 lim 2 1 x x e → x = − = −1 例2 求 . sin tan lim 2 0 x x x x x − → 解 注意到 sin x ～ 原式 3 0 tan lim x x x x − = → 2 2 0 3 sec 1 lim x x x − = → 2 2 0 3 tan lim x x x→ = x x 2 2 sec =1+ tan 3 1 = x 型 0 0
例3求lin x3-3x+2 型 x-13 x2-x+1 解原式=im 3x2-3 x→13x2-2x-1 注意:条件满足时洛必达法则可连续使用有限次! 6x3 x-)16x-22 注意:不是未定式不能用洛必达法则! 6x x16x-2x-16
注意: 条件满足时洛必达法则可连续使用有限次 ! 例3 求 . 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − + → x x x x x x 解 原式 lim →1 = x 型 0 0 6 2 6 lim 1 − = → x x x 2 3 = 注意: 不是未定式不能用洛必达法则 ! 6 2 6 lim →1 x − x x 1 6 6 lim 1 = x→ 3 3 2 x − 3 2 1 2 x − x −
Inx 例4求1mn(m>0) 型 x-)+oo x 解原式=limx,=lim =0 x->+∞nx x>too nx 例5求imx(4>0,n为正整数 型 x→)+ e 解原式=im lim n(n-D)x n-2 x+O元exx)+02ex lim =0 x ax →+0
例4 求 ( 0). ln lim →+ n x x n x 解 型 原式 1 1 lim − →+ = n x x nx n x nx 1 lim →+ = = 0 例5 求 解 原式 = 0 x n x e nx 1 lim − →+ = x n x e n n x 2 2 ( 1) lim − →+ − = n x x e n ! lim →+ == lim ( 0, n x x x e →+ 型 n 为正整数)
说明:洛必达法则不是万能的! 1)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题 例如, imy+x2=mx=1imy+x用洛必达法则 x-+00 x→)+0√1+x x→)+0 结果循环 而 1+x lim2+1=1 x→>+∞x 2)若1m7(x)不存在(≠∞)时 F(x) m F(x) ≠1im(x) F(x) 例如,lim x+sinx ≠1 1+cos x 极限不存在 x→>+O x→>+∞01 sIn x lim (1+ x→)+
说明: 洛必达法则不是万能的! 例如, x x x 2 1 lim + →+ 2 1 lim x x x + = →+ x x x 2 1 lim + = →+ 而 x x x 2 1 lim + →+ 1 1 lim 2 = + x→+ x =1 用洛必达法则 结果循环 1) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题 . 2) 若 ( ) , ( ) ( ) lim 不存在 时 F x f x . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x 例如, x x x x sin lim + →+ 1 1 cos lim x x + →+ 极限不存在 ) sin lim (1 x x x + →+ =1
2.其他未定式:0·∞,∞-∞,0,1,∞0型 解决方法: 通分取倒数 取对数 0 转化 转化 转化 例6求 lim xInx 0·∞型 x→>0 解原式=lim-=lim-x2=1im(-x)=0 X 0-x 例7求lim(secx-tanx) 型 解原式=lm SIn x - COsx -lim =0 x→>2 cosx x-x-Snx 例8求limx 开 x→>0 nx 解原式=lime=e=1利用例6 x→>0
2. 其他未定式: 0, − , 0 , 0 1 , 0型 解决方法: 通分 转化 0 0 0 取倒数 转化 0 0 1 0 取对数 转化 例6 求 0 lim ln . x x x → + 0型 解 原式 1 0 ln lim x x x + − → = 1 2 0 lim x x x + − → = − = 0 0 lim( ) x x → + = − − −型 2 lim(sec tan ). x x x → − 解 原式 x x x cos 1 sin lim 2 − = → x x x sin cos lim 2 − − = → = 0 例7 求 例8 求 0 lim . x x x → + 0 0型 解 原式 x x x e ln 0 lim → + = 0 = e =1 利用 例6
内容小结 洛必达法则 00 型 0 型型 001,∞00型 O-0 型 ●
内容小结 洛必达法则 0 0 ,1 , 0 型 − 型 型 0 型 0 0 型
思考与练习 设m/(x)是未定式极跟,如果x g(x) 8(+)级原 不存在,是否 f(x) 的极限也不存在?试求下列函数 X 的极限 XSin一 (1) lim 答:0 sinx √1+x (2) lim x→)+0 答:1
思考与练习 设 ( ) ( ) lim g x f x 是未定式极限 , 如果 ( ) ( ) g x f x 不存在 , 是否 ( ) ( ) g x f x 的极限也不存在 ? 试求下列函数 极限 的极限. 2 0 1 sin (1) lim x sin x x → x 2 1 (2) lim x x →+ x + 答: 0 答: 1