第四章不定积分 高等数学(XJD)
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不定积分的内容构成 原函数 不定积分 确 定圃积分法积分法直接 分部 基 积分法本 积分部分 积 分 第一换元法 几种特殊类型表 第二换元法 函数的积分 高等数学(XJD) ▲V^Yu
高等数学（XJD） 积分法 原 函 数 确 定 积 分 部 分 基 本 积 分 表 第一换元法 第二换元法 直接 积分法 分部 积分法 不 定 积 分 几种特殊类型 函数的积分 不定积分的内容构成
第四章不定积分 1不定积分的定义 5.有理函数的积分 c2.不定积分的性质 6.三角函数有理式的积分 工工工 3.积分方法 7.简单无理函数的积分 4积分换元技巧 8.典型例题 高等数学(XJD) ▲u
高等数学（XJD） 第四章 不定积分 1. 不定积分的定义 2. 不定积分的性质 3. 积分方法 4. 积分换元技巧 5. 有理函数的积分 6. 三角函数有理式的积分 7. 简单无理函数的积分 8. 典型例题
1.不定积分的定义 丰=F(9+c(续数一定有原函数) 2,不定积分的性质 生4004-()d/)l/(h ∫F(x)=F(x)+C∫aF(x)=F(x)+C ∫kf(x)+k28(x)=k∫(x)+kg(x 高等数学(XJD) ▲u
高等数学（XJD） f (x)dx = F(x) + C 1. 不定积分的定义 （连续函数一定有原函数） [k1 f (x) + k2 g(x)]dx = k1 f (x)dx + k2 g(x)dx f (x)dx f (x) dx d = d[ f (x)dx] = f (x)dx F(x)dx = F(x) + C dF(x) = F(x) + C 2. 不定积分的性质
3.积分方法 1)直接积分法 利用不定积分表、积分性质以及定积分5个公式求积分 2)换元法积分法 u=p(x) f(u)du flo(lo(x)dc "3)分部积分法 王∫mah(确定积分部分和微分部分) 高等数学(XJD) ▲u
高等数学（XJD） 2)换元法积分法 1)直接积分法 利用不定积分表、积分性质以及定积分5个公式求积分 f u du f x x dx u x = = ( ) [ ( )] ( ) ( ) = = f u du f x x dx u x b a ( ) [ ( )] ( ) ( ) 3)分部积分法 uv dx uv u vdx = − （确定积分部分和微分部分） 3. 积分方法
4积分换元技巧 f(at+b)de f(at+b d(at+b) f(x) d=2f(√x)d(√x) f(at' +b)dx f(at'+b) d(at+ 2b)( (In x) dx= f(n x)d(nx 2a sT /(a)adr=f(ay d(a2) f(e e d=f(e d(e) n a f(sin x)cos xdx=f(sin x)d (sin x) f(shr)ch xdx=f(shx)d(shx) f(tan xsec xdx= f(tan xd(tan x) (3)-=( trades 丰m9换x1 王三角代换 x=aint 双曲代换x=asht 高等数学(XJD) ▲u
高等数学（XJD） 2 ( ) ( ) ( ) dx f x d x x f x = (ln ) (ln ) (ln ) dx f x d x x f x = = − x d x dx f x x f 1 1 1 1 2 f (sin x)cos xdx = f (sin x)d(sin x) ( ) ln ( ) ( ) x x x x d a a f a f a a dx = (tan )sec (tan ) (tan ) 2 f x xdx = f x d x (arctan ) (arctan ) 1 (arctan ) 2 dx f x d x x f x = + ( ) ( ) ( ) d at b a f at b f at b dx + + + = ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 2 d at b a f at b f at b dx + + + = f (sh x)ch xdx = f (sh x)d(sh x) 4. 积分换元技巧 三角代换x = asint 双曲代换x = asht t x 1 倒置代换 = ( ) ( ) ( ) x x x x f e e dx = f e d e
5.有理函数的积分 P(x)_anx”+a1x”+…+an1x+an(a0≠0 Q(x)bxm+b1xm+…+bm1x+bn(b≠0 =多项式+真分式=多项式+∑最简分式 Alnx-a+c: X-l Adx -+o 王(x-a20-m(x-a Mx +w N一 dx= Mr(2x+ p)ax (x2+px+g) 2J(x2+px+g)"J(x2+px+)" (此两积分都可积,后者有递推公式) 高等数学(XJD) ▲u
高等数学（XJD） + + + + + + + + = − − − − 0 0 ( ) ( ) 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 b a b x b x b x b a x a x a x a Q x P x m m m m n n n n = 多项式+ 真分式= 多项式+最简分式 Aln x a C; x a Adx = − + − ; ( ) (1 )( ) 1 C n x a A x a Adx n n + − − = − − + + − + + + + = + + + dx x px q N x px q M x p dx dx x px q Mx N n Mp n n ( ) ( ) (2 ) ( ) 2 2 2 2 2 （此两积分都可积, 后者有递推公式） 5. 有理函数的积分
6.三角函数有理式的积分 斗对于R(simx,cosx)用万能替换tan=u 2 2 ∫Rix0J1+21+2月1+ 若R(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx)令cosx=l 若 R(Sinx,-cosx)=- R(sin x,cosx)令sinx= 若R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx)令tanx=L 7.简单无理函数的积分 ax+ b 对于1cx+c= ax+b cre 高等数学(XJD) ▲u
高等数学（XJD） 用万能替换 u x = 2 tan R(sin x,cos x)dx = du u u u u u R 2 2 2 2 1 2 1 1 , 1 2 + + − + 对于 R(sin x,cos x) 若R(−sin x,cos x) = −R(sin x,cos x) 令cos x = u 若R(sin x,−cos x) = −R(sin x,cos x) 令 sin x = u 若R(−sin x,−cos x) = R(sin x,cos x) 令 tan x = u 7. 简单无理函数的积分 对于 ( , n ) cx e ax b R x + + ; n cx e ax b t + + 令 = 6. 三角函数有理式的积分
8.典型例题 例1求23 dx 9-4 3 牛解原式32=25J d(2)令(2)= dt 3Jt2-1 In 2x odt In +C 2In 3J-1t+12(n3-1n2)t+1 2 3x-2 +c 2(n3-In2)3+2 高等数学(XJD) ▲u
高等数学（XJD） 例1 − = dx x x ) 1 2 3 ( ) 2 3 ( 2 解 原式 . 9 4 2 3 − dx x x x x 求 − = ) 1 2 3 ( ) 2 3 ( 2 3 ln 1 2 x x d − 1 2 3 ln 1 2 t dt + − − = dt t t ) 1 1 1 1 ( 2 3 2 ln 1 C t t + + − − = 1 1 ln 2(ln 3 ln 2) 1 . 3 2 3 2 ln 2(ln 3 ln 2) 1 x x C x x + + − − = t x ) = 2 3 令( 8. 典型例题
工王王 王例2求∫ e(l+sin x) d i 1+ cos x e(1+2 sincOs) 解原式=∫ dx 2 cos 2 e +e tan dx 2 cos 2 ∫e(un2)+n:lel-ctmn2 =e tan -+C 2 高等数学(XJD) ▲u
高等数学（XJD） 解 . 1 cos (1 sin ) + + dx x e x x 求 + = dx x x x e x 2 2cos ) 2 cos 2 (1 2sin 2 原式 = + dx x e x e x x ) 2 tan 2 2cos 1 ( 2 ] 2 ) tan 2 [( (tan = + x x de x x e d = ) 2 ( tan x d e x . 2 tan C x e x = + 例2