积分时应 逗回
第六章 定积分的应用
习题课结构 内容提要 重点难点)典型例题 练习题 及答案
内容提要 典型例题 练习题 及答案 重点难点 习题课结构
、本章的重点、难点、此次 习题课达到的目的 重点:定积分的几何应用—平面图形的面积,旋专体的 体积,平面曲线的弧长,定积分的物理应用变 力作功,水压力。 难点:定积分的元素法 习题课达到的目的:使学生熟练掌握用定积分表达面积 体积、弧长、功、水压力 高等刻学( XAUAT)
高等数学（XAUAT） 一、本章的重点、难点、此次 习题课达到的目的 重点：定积分的几何应用——平面图形的面积，旋专体的 体积，平面曲线的弧长，定积分的物理应用——变 力作功，水压力。 难点：定积分的元素法。 习题课达到的目的：使学生熟练掌握用定积分表达面积、 体积、弧长、功、水压力
二内容提要 c1定积分的元素法 定积分的元素法是应用定积分求具有可加性 这类几何量或物理量的重要方法,具体步骤如下: (1)首先做草图,然后选取适当的坐标系及适当的变 牛量为积分变量(如)并确定积分变量的变化区间(如p (2)用任意一组分点把区间[ab]任意分成n个小区间, 王任取小区间x+的当很小时,运用“以直代 曲”,“以不变代变”等辩证思想,求出微元素 表达式 du=f(x)dx (3)对元素进行积分,得所求量n=Jh=J(x) 高等刻学( XAUAT) AAY U
高等数学（XAUAT） 二 内容提要 1.定积分的元素法 定积分的元素法是应用定积分求具有可加性 这类几何量或物理量的重要方法，具体步骤如下： x a,b) （1）首先做草图，然后选取适当的坐标系及适当的变 量为积分变量 如 并确定积分变量的变化区间(如 。 3 b b a a u du f x dx 对元素进行积分，得所求量 2 , , , a b x x dx dx du f x dx 用任意一组分点把区间 任意分成n个小区间， 任取小区间 当 很小时，运用“以直代 曲” ， “以不变代变”等辩证思想，求出微元素 表达式
A"2.平面图形的面积 (1)直角坐标系情形 设平面图形由曲线y=f(x),y=g(x)及直线 x=a,x=b所围成,则平面图形的面积为 A=IF(x)=8(x)dx 王()参数方程 由参数方程{=(a≤t≤B、x轴及直线x=a,x=b所表示 的分段光滑曲线所围成的平面图形之面积为: A-Llydx=ly(k(odt (o(a)=a,o(B)=b 高等刻学( XAUAT)
高等数学（XAUAT） 1 直 角 坐 标 系 情 形 , , b a y f x y g x x a x b f x g x d x 设 平 面 图 形 由 曲 线 及 直 线 所 围 成 ， 则 平 面 图 形 的 面 积 = 为 A ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) b a x t y t t x x a x b y dx t t dt a b 由参数方程{ 、 轴及直线 所表示 的分段光滑曲线所围成的平面图形之 = 面积为： A 2 参数方程 2.平面图形的面积
王王王 (3)极坐标情形 设曲边扇形由连续曲线y=(0)及射线=a, 0=所围成,则此曲边扇形的面积4=o( 一般的,由曲线y=%1(0),y=y2(0)(n(0)≤y2(0)及 射线b=a,6=B(asB)所围成的平面图形面积为 A2V2()-()片y=f() 3体积、侧面积 王()旋转体体积、侧面积 a xbox b 由连续函数y=f(x)x轴及直线x=a,x=b所围成的曲边梯形 绕x轴和y轴旋转一周所成立体的体积,绕x轴一周所成立体 的侧面积分别为: 高等刻学( XAUAT)
高等数学（XAUAT） 3 极 坐 标 情 形 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 [ ] 2 1 2 A A d d 设曲边扇形由连续曲线 = 及射线 ， 所围成，则此曲边扇形的面积 一般的，由曲线 = ， = 及 射线 ， 所围成的平面图形面积为 3.体积、侧面积 1旋转体体积、侧面积 ( ), , x y f x x x a x b x y 由连续函数 轴及直线 所围成的曲边梯形 绕 轴和 轴旋转一周所成立体的体积，绕 轴一周所成立体 的侧面积分别为： x y o x dx y f(x)
V=T [f(x]dx Vy=27) xf(x)dr S,=2rf(x)1+f"(x)dx. (2)截面面积为已知的立体的体积 设过点x且垂直与x轴的平面截立体得截口 面积为A(x)(a≤x≤b),A(x)为x的连续函数, 则立体体积为 V= A(x)dx 4.平面曲线的弧长 (1)设光滑或分段光滑曲线L由直角坐标方程 y=f(x)(a≤x≤b)给出,则曲线之弧长为 高等刻学( XAUAT)
高等数学（XAUAT） 2 2 [ ( )] 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) b x a b y a b x a V f x dx V x f x dx S f x f x dx (2) x x 截面面积为已知的立体的体积 设过点 且垂直与 轴的平面截立体得截口 o x y a b y f (x) x x d x 4.平面曲线的弧长 面 积 为 A( x )(a x b ), A( x )为 x的 连 续 函 数 ， 则 立 体 体 积 为 1 x （ ） 设 光 滑 或 分 段 光 滑 曲 线 L由 直 角 坐 标 方 程 y = f ( x ) ( a b )给 出 ,则 曲 线 之 弧 长 为 ( ) b a V A x dx
L=√+(x)d(a<b 其中L=√+[(x)为弧长微分,由弧长微分 公式[4图于=[于+[推出 王(2)设光浩曲线由参数方程(=a3≤给出,则曲 线之弧长为;L=(+v(d(a≤ (3)设光滑曲线由极坐标方程y=y(0)(a≤0≤B) 给出,则曲线的弧长为: L=M(a)]+[y()a(a<B) 高等刻学( XAUAT)
高等数学（XAUAT） ' ' 2 2 2 2 2 1 [ ] 1 [ ] . b a dL f x L f x dx a dx ds b dx dy 其中 为弧长微分，由弧长微分 公式 推出 2 2 L t t dt 3 设 光 滑 曲 线 由 极 坐 标 方 程 给 出 ,则 曲 线 的 弧 长 为 ： 2 2 L dt 2 { x t y t L t 设光滑曲线 由参数方程 给出，则曲 线之弧长为:
注: a)三种计算弧长的公式均可由弧长微分公式推出, 故只须牢记弧长微分公式(dL)2=(dx)2+(dy)2即可 b)求曲线弧长时,注意公式中的被积函数总是正的, 为使弧长取得正值,取积分限时,取下限小于上限. 。)对于封闭曲线始点与终点是同一点,对于参数方 程,定限时应取动点沿曲线转一周时的参数值,而 用直坐标方程时,则要分段计算 d积分时根号中提出的任何因式应带绝对值,然后根 据自变量的取值范围取掉绝对值号后再积分. 高等刻学( XAUAT)
高等数学（XAUAT） ) , a 2 2 2 注： 三种计算弧长的公式均可由弧长微分公式推出, 故只须牢记弧长微分公式 (dL) =(dx) +(dy) 即可. b)求曲线弧长时,注意公式中的被积函数总是正的, 为使弧长取得正值,取积分限时, c)对于封闭曲线,始点与终点是同一点,对于参数方 程,定限时应取动点沿曲线转一周时的参数值，而 用直坐标方程时,则要分段计算 取下限小于上限. 根号中提出的任何因式应带绝对值 . d)积分时 ,然后根 据自变量的取值范围取掉绝对值号后再积分
5功、液体压力、引力 (1)变力所做的功 设某物体受一变力F(x)的作用沿直线ox运动,力的方向 与物体运动的方向共线,则,当物体由点a移动到点b时 变力所做的功为:W=「F(x)x a (2)求液体的压力 y 设一块平板垂直放置在液体中,位置如图b 则此平板一侧所受的液体压力为: F=px[f(x)-A(x)F(x)x(为液体的比重 注:具体问题在建立坐标系时,一般应将y轴置于液面 x轴垂直向下 (3)根据具体问题,利用元素法,先写出力的微元,然后积分 高等刻学( XAUAT) AAY U
高等数学（XAUAT） 5.功、液体压力、引力 1 变 力 所 做 的 功 , , F x ox a b 设 某 物 体 受 一 变 力 的 作 用 沿 直 线 运 动 力 的 方 向 与 物 体 运 动 的 方 向 共 线 ,则 当 物 体 由 点 移 动 到 点 时 ， 变 力 所 做 的 功 为 ： b a W F x dx 2 求液体的压力 设 一 块 平 板 垂 直 放 置 在 液 体 中 , 位 置 如 图 则 此 平 板 一 侧 所 受 的 液 体 压 力 为 ： , , . y x 注 ： 具 体 问 题 在 建 立 坐 标 系 轴 置 于 液 面 轴 垂 时 一 应 将 直 向 下 般 1 2 b a F x f x f x F x dx 为液体的比重 y yf1x yf2x b a o x 3根据具体问题,利用元素法,先写出力的微元,然后积分
