§42换元积分法 u=o(x C+F(u) y(x)=F[0(x)+C 复合函 数求导 f(u=F(u) y(x)=f[0(x)]p(x 第一类换元法 易求 欲求 ()d/o(x)()d 欲求 易求 「第二类换元法 ‖凑微分 flo(x)]do(x) 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 第二类换元法 第一类换元法 §4.2 换元积分法 y(x) = F[(x)] f [(x)]d(x) y (x) = f[(x)](x) 复合函 数求导 C + +C 凑微分 易求 欲求 欲求 易求
常用技巧: f(ax+b)dr=f(ax+b)d(ax+b) (2)](ax+b)xdx=2af f(ax2+b)d(ax2+b) (3)|f(x”)xars1 f(r"d (4∫/mx)dx=∫f( Inx)dInx ∫(x")dx=f( dx (6)f(e")edx=f(e")de 7)利用三角公式降幂、拆分等变形改变积分 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 常用技巧： + = (1) f (ax b)dx d(ax + b) a 1 = − f x x x n n (3) ( ) d 1 n dx n 1 1 (5) ( ) d n f x x x = n dx n 1 n x 1 + = (2) f (ax b)xdx 2 d( ) 2 ax +b 2a 1 1 (4) (ln ) d f x x x = dln x (6) ( ) d x x f e e x = x de (7) 利用三角公式降幂、拆分等变形改变积分
常用技巧: (8)f(sinx) cos xdr=finx) sinx(奇数个cosx) )J( cos x )sin xdx=/ cos x)dcos(奇数个 0J( tan x)sec?xdr=/(anx)dtnx(偶数个ix和(x) 1∫(x,a2-x2)d,令x= asin t或x= a cos t (12)∫f(x,Va2+x2)dx,令x= a tant或x=asht 3)∫f(x,x2-n)dr,令x= a sec t或x=acht (14)f(a)dx, 令t=a (15)分母中因子次数较高时,可试用倒代换 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 常用技巧： 2 2 (11) ( , )d , f x a x x − 令 x = asint 或 x = acost 2 2 (12) ( , )d , f x a x x + 令 x = a tant 或 x = asht 2 2 (13) ( , )d , f x x a x − 令 x = asect 或 x = acht (15) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 (14) ( )d , x f a x 令 x t = a 2 (10) (tan )sec d f x x x = dtan x （偶数个sin cos x x 和 ） (8) (sin )cos d f x x x = dsin x (9) (cos )sin d f x x x = − dcos x （奇数个cos x） （奇数个sin x）
ar+h)m 例1求|(ax+b)mdx(m≠-1 解令u=ax+b,则d u= aax 故 原式=4m1am=1.1,m+ C a m+1 (ax +b)"t+C a(m+1) 注当m=-1时 dx I Inax+6+C ax+b a 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 例1 求 解 令 u = ax + b , 则 d u = adx , 故 原式 = m u u a d 1 a 1 = u C m m + + +1 1 1 注 当 时
dx 例2求 想到公式 d u 解 1+L a+x 1+() arctan+c 令l 则du=-dx a C du arctan u+C a1+l2 X arctan(-)+C 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） + = 2 2 1 ( ) 1 d a x x a 例2 求 解 , a x 令 u = 则 x a u d 1 d = + 2 1 u du a 1 u C a = arctan + 1 想到公式 + 2 1 d u u = arctan u +C ( ) a x =
dx 例3求 (a>0 dx d() 解 arcsin -+C C d u 想到 arcsin +o u ∫/0(x)o(xkx=∫f(0(x)d0(x)(直接配元 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 例3 求 = − 2 1 d u u 想到 arcsinu +C 解 − 2 1 ( ) d a x a x = f ((x))d(x) (直接配元) f [(x)] (x)dx − = 2 1 ( ) d ( ) a x a x
d 例4求 解 1(x+a)-(x-a) 2a (x-a)(x+a ax-ax+a 原式1 2alJx-a jx+a 1「cd(x d(x+a) 2a xX-a x+a [In x-al-Inx+all+C=In x-a+ 2a 2a x+a 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） C x a x a a + + − = ln 2 1 例4 求 解 2 2 1 x − a (x − a)(x + a) (x + a) − (x − a) 2a 1 = ) 1 1 ( 2 1 a x a x + a − − = ∴ 原式 = 2a 1 + − − x a x x a dx d = 2a 1 − − x a d(x a) 2a 1 = ln x − a − ln x + a +C + + − x a d(x a)