西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）9.3 全微分

§93全微分 全微分的定义 兰二、全微分在数值计算中的应用

§9.3 全微分 *二、全微分在数值计算中的应用 一、全微分的定义

全微分的定义 对一元函数:u=f(x) 给自变量增量:x 有增量:An=f(x+1x)-f( AAx+(Ar) 定义微分:d=df=AAx(线性主部) (称可微) d dx=f(x)da (用黑板向右推广到多元函数) 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） 一、全微分的定义 对一元函数：u = f ( x ) = Ax + o(x ) 定义微分： du = d f = Ax （称可微） 给自变量增量： x 有增量： x x u d d d = （线性主部） = f (x)dx （用黑板向右推广到多元函数）

对多元函数:l=f(x,y) 给自变量增量:x 给y 有偏增量:4n=f(x+At,y)-f(xy)4=f(xy+4y)-f(x,y) AAx+o(r) BAy+o(Ay) 有偏微分:d.u-=AAx d,u= Bay d 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） 对多元函数 ：u = f ( x, y ) = Ax + o(x) 有偏微分： d u A x x =  给自变量增量： x 有偏增量： x x u d   = = By + o(y) d u B y y =  y y u d   = 给 y

再对多元函数:l=f(x,y) 给自变量增量:(x,y 有全增量:Al=f(x+4x,y+4y)-f(x,y) =A1x+By+0(p),P=√(Ax)2+(△y) 定义全微分:dl=df=AAx+BAy(见P19全微分定义) (称可微) au dx+dy(后面的结论) 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） 再对多元函数：u = f ( x, y ) = Ax + By + o( ) , 定义全微分： du = d f = Ax + By （称可微） 给自变量增量：( x , y) 有全增量： y y u x x u d d   +   = （后面的结论） （见P19全微分定义）

多元函数在一点可微、可导、连续之间的关系 lim Az= lim[(AAx+BAy)+o(p)=0 0→ △y→>0 得imf(x+△x,y+△y)=f(x,y) △x→>0 △y->0 即函数二=(x,y在点(x,y)可微 函数在该点连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系 (1)函数可微,偏导数存在 (2)偏导数连续 函数可微 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） (2) 偏导数连续 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) lim( ) ( ) 0   = Ax + By + o → 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 lim ( , ) 0 0 f x x y y y x +  +   →  → 二、多元函数在一点可微、可导、连续之间的关系 得 z y x   →  → 0 0 lim = 0 = f (x, y) 函数在该点连续 偏导数存在 函数可微 即

定理1(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微, 则该函数在该点偏导数 az az 必存在且有 d HOiby y △x+ x 证:由全增量公式△z=AAx+BAy+0(P)令△y=0, 得到对x的偏增量 Ax2=f(x+△x,y)-f(x,y)=A△x+O(Ax) lim A xx->0△x 同样可证 B,因此有dz=△x+x△y y 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） 定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 y y z x x z z     +   d = x z    同样可证 B, y z =   证: 由全增量公式 令y = 0, = Ax + o( x ) 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 x + x x 因此有 x zx x   =  →0 lim = A

注意:定理1的逆定理不成立即 偏导数存在函数不一定可微 反例:函数f(x,y)=1x∠3,x2+y2≠0 x2+y2=0 易知fx(0,0)=/,(0,0)=0,但 △x△ Az-[x(0,0)4x+f(0.0)Ay (△x)2+(△y) △xΔ △x△ /(△x)+(42)2p(△x)2+(4y)20 ≠O()因此函数在点(0,0)不可微 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） 反例: 函数 f (x, y) = 易知 (0, 0) = (0, 0) = 0 , x y f f 但 z [ f ( 0, 0) x f ( 0, 0) y]  − x  + y   o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . 注意: 定理1 的逆定理不成立 . 2 2 ( x) ( y) x y  +    = 2 2 ( x) ( y) x y  +    = 0 偏导数存在函数 不一定可微 ! 即: , 0 2 2 2 2 +  + x y x y xy 0, 0 2 2 x + y =

定理2(充分条件)若函数z=f(x,y)的偏导数O.0 ax a 在点(x,y)连续,则函数在该点可微分 y 证:Az=f(x+Ax,y+△y)-f(x,y [f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y) +[f(x2y+△y)-f(x,y) fx(x+61x,y+△y)Ax+/,(x,y+2△y)Ay (00 △x->0 △y→0 △y→)0 高等数学(ZYH) △

高等数学（ZYH） =[ f (x + x, y + y) ] 定理2 (充分条件) y z x z     , 证： z = f (x + x, y + y) − f (x, y) (0 , 1) 1  2  f x y x = [ x ( , ) + ]       f x y y y = f x (x +1x, y + y)x + y ( , + 2 ) − f (x, y + y) +[ f (x, y + y ) − f (x, y)] f x y y +[ y ( , ) + ] 若函数 的偏导数 在点(x, y) 连续, 则函数在该点可微分.   lim 0 0 0 =  →  →  y x lim 0, 0 0 =  →  →  y x

△z fx(x,y)Ax+/y(x,y)Ay+a△x+B△ lim a=0, lim B=0 △x->0 △x→>0 △y->0 △y→>0 注意到 a△x+B△y ≤|+B,故有 fx(x, y)Ax+f (x, y)Ay+o(p) 所以函数z=f(x,y)在点(x,y)可微 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） z = f x y x f x y y = x ( , ) + y ( , ) z f x y x f x y y  = x ( , ) + y ( , )       + x + y 所以函数 + x +  y 在点 可微.       lim 0 0 0 =  →  →  y x lim 0, 0 0 =  →  →  y x 注意到 , 故有 + o( )