线性方程组解的结构 (杨威) 教学目的与要求 通过学习,使学生理解和应用齐次线性方程组与非齐次线性方程组解的结构定理,求解 齐次和非齐次线性方程组的通解。 教学重点与难点 教学重点:理解和应用齐次线性方程组与非齐次线性方程组解的结构定理 教学难点:掌握和理解解空间及齐次线性方程组解结构定理的证明 教学方法与建议 首先介绍齐次方程组解空间的概念,然后借助于向量空间的基,引入基础解系,从而得 到齐次方程组解的结构定理。在证明齐次方程组解解结构定理的同时,也给出齐次方程组解 的基础解系的计算方法。通过研究非齐次线性方程组的解与齐次方程组解的关系,得出非齐 次线性方程组解的结构定理。通过举例使学生掌握并运用结构定理。 教学过程设计 1.齐次线性方程组的解空间和基础解系 设有n元齐次线性方程组 a1x1+a12x2+…+a1nxn=0 21x1+a2x2+…+a2nCn (4.2) lamIn,+am2-x2++amxn=0 记A=(an)mn,x=(x1,x2,xn),则(42)可写成 A=0 (4.3) 如果x1=51,x2=521,xn=5n是(43)的解,则 x=51=(41,l21,ln) 称为(42)的解向量,自然它也是(4.3)的解。根据(4.3),容易验证解向量有下列性质: (1)若5,52是(43)的解,则5+2也是(43)的解。 (2)若占是(4.3)的解,k是任意实数,则k5是(4.3)的解 如果用S表示(42)的全体解向量的集合,则上述性质恰恰说明S对解向量的加法和数 乘运算封闭,因此S是向量空间,称为(4.2)的解空间。如果能求出解空间的一组解,则 解空间就是由这组基生成的向量空间,从而得到(42)的全部解。 定理46在(43)中设R(4)=r<n,则(42)的解空间有基,且其中含n-r个解向量
线性方程组解的结构 （杨威） ● 教学目的与要求 通过学习，使学生理解和应用齐次线性方程组与非齐次线性方程组解的结构定理，求解 齐次和非齐次线性方程组的通解。 ●教学重点与难点 教学重点：理解和应用齐次线性方程组与非齐次线性方程组解的结构定理。 教学难点：掌握和理解解空间及齐次线性方程组解结构定理的证明。 ●教学方法与建议 首先介绍齐次方程组解空间的概念，然后借助于向量空间的基，引入基础解系，从而得 到齐次方程组解的结构定理。在证明齐次方程组解解结构定理的同时，也给出齐次方程组解 的基础解系的计算方法。通过研究非齐次线性方程组的解与齐次方程组解的关系，得出非齐 次线性方程组解的结构定理。通过举例使学生掌握并运用结构定理。 ● 教学过程设计 1.齐次线性方程组的解空间和基础解系 设有 n 元齐次线性方程组 + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x （4.2） 记 A = aij mn ( ) ， T x x x xn ( , ,...., ) = 1 2 ，则（4.2）可写成 Ax = 0 （4.3） 如果 1 11 2 21 1 , ,..., x = x = xn = n 是（4.3）的解，则 T x n ( , ,..., ) = 1 = 11 21 1 称为（4.2）的解向量，自然它也是（4.3）的解。根据（4.3），容易验证解向量有下列性质： （1） 若 1 2 , 是（4.3）的解，则 1 + 2 也是（4.3）的解。 （2） 若 是（4.3）的解， k 是任意实数，则 k 是（4.3）的解。 如果用 S 表示（4.2）的全体解向量的集合，则上述性质恰恰说明 S 对解向量的加法和数 乘运算封闭，因此 S 是向量空间，称为（4.2）的解空间。如果能求出解空间的一组解，则 解空间就是由这组基生成的向量空间，从而得到（4.2）的全部解。 定理 4.6 在（4.3）中设 R(A) = r n, 则（4.2）的解空间有基，且其中含 n−r 个解向量
证:无妨设A左上角的r阶子方阵非奇异,则方程组(42)可以改写成 (4.4) nx1+…+arrr=-xr+ 把x,1x…,xn的任意一组值代入(44),根据克莱姆法则就唯一地确定了(44)的一个解 x1…,x把它同取定的x1x…,xn合在一起,就确定了(42)的一个解向量。换言之,对 于方程组(42)的任意两个解向量,只要它们的后n-r各分量相同,则前r个分量也相同, 从而两个解向量就完全一样。 在(44)中分别取(x1…,xn)=(1-0,…,O)(0,1,…,0),…,(0,0,…,1) (4.5) 这样n-r组值,就得到了(42)得n-r个解向量。 n=(c1c1-10,,0)2, n2=(c21c2,01,0), 7nr=(cn-r1…,Cnr20,0,…,1) 现在来证明(46)就是(42)解空间的一组基 首先,由向量组(45)的线性无关及定理43的推导得知向量组(46)线性无关。 其次,证(4.2)的任一组解向量可由向量组(46)线性表示。设 7=(c1,Cr,Cn+1x…,Cn) 是(42)的任一解向量,由于m,2…,门m是(42)的解向量,所以它们的线性组合 Cr+n, +Cr+n2+.+Cnno-r 也是(42)的解向量,并且它的后n-F个分量同7的后n-F分量相同,由前面的分析知 7=Cr+71+cr+272 这就证明了(46)是(42)解空间的一组基 一个其次线性方程组解空间的基又称为方程组的基础解系。当R(A)=r=n时,方程组 只有零解,即解空间只有一个零向量,此时方程组没有基础解系。 在求得基础解系们1,们2…,n后,解空间为 S={x=k+k2+…+ kn-,n-r k,∈Ri=12,n-r} 而形如x=kT1+k272+…+knTn的解称为(42)的通解。 2.非其次线性方程组解的结构及通解
证： 无妨设 A 左上角的 r 阶子方阵非奇异，则方程组（4.2）可以改写成 + + = − − − + + = − − − + + + + r rr r rr r rn n r r r r n n a x a x a x a x a x a x a x a x 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 （4.4） 把 xr xn ,..., +1 的任意一组值代入（4.4），根据克莱姆法则就唯一地确定了（4.4）的一个解 x xr ,..., 1 .把它同取定的 xr xn ,..., +1 合在一起，就确定了（4.2）的一个解向量。换言之，对 于方程组（4.2）的任意两个解向量，只要它们的后 n − r 各分量相同，则前 r 个分量也相同， 从而两个解向量就完全一样。 在（4.4）中分别取 ( ,..., ) (1,0,...,0),(0,1,...,0),...,(0,0,....,1) xr+1 xn = ， （4.5） 这样 n − r 组值，就得到了（4.2）得 n−r 个解向量。 T r (c ,...,c ,1,0,...,0) 1 = 11 1 ， ( ,..., ,0,1,...,0) , 2 21 2 T r = c c （4.6） …………………………………. T n r n r n rr (c ,...,c ,0,0,....,1) − = − 1 − 现在来证明（4.6）就是（4.2）解空间的一组基。 首先，由向量组（4.5）的线性无关及定理 4.3 的推导得知向量组（4.6）线性无关。 其次，证（4.2）的任一组解向量可由向量组（4.6）线性表示。设 ( ,..., , ,..., ) 1 r r 1 n c c c c = + 是（4.2）的任一解向量，由于 n−r , ,...., 1 2 是（4.2）的解向量，所以它们的线性组合 r r n n r c c c +11 + +22 ++ − 也是（4.2）的解向量，并且它的后 n − r 个分量同 的后 n − r 分量相同，由前面的分析知 r r n n r c c c = +11 + +22 ++ − 这就证明了（4.6）是（4.2）解空间的一组基。 一个其次线性方程组解空间的基又称为方程组的基础解系。当 R(A) = r = n 时，方程组 只有零解，即解空间只有一个零向量，此时方程组没有基础解系。 在求得基础解系 n−r , ,...., 1 2 后，解空间为 { , 1,2,..., } 1 1 2 2 S x k k k k R i n r = = + ++ n−rn−r i = − 而形如 x = k11 + k22 ++ kn−rn−r 的解称为（4.2）的通解。 2.非其次线性方程组解的结构及通解
设有非齐次线性方程组 a1x1+a12x2+…+a1 b 2 (4.7) a,x,+ax++ x=b 若记a1=(a1,a1y,an),j=12,…,n,b=(b,b2,,bn)x=(x,x2…,xn), A=(a1,a2…an)。则(47)可写成4x=b (48) x1a1+x2a2+…+xnGn=b 容易验证,非齐次线性方程组Ax=b的解具有下列性质 (1)设71,们2是Ax=b的解,则x=7-72是对应齐次方程组(也称为Ax=b的导出 组)Ax=0的解 (2)若η是Ax=b的一个解,5是导出组Ax=0的通解,则称x=+5为Ax=b 的通解 因此,我们得到了关于线性方程组(4.7)的相容性有下列四种等价说法 (1)方程组Ax=b有解 (2)R(A)=R(B,其中B=(A,b) (3)向量b可由向量组a1,a2,axn线性表示, (4)向量组a1a2,…,an与《1,a2…,Cn,b等价 3.举例 例4.17求方程组的基础解系和通解 x=0 2x3+3x4=0 解 A=1-11-3|→002-4→0012 001 因R(A)=2,n=4,故基础解系有两个解,保留方程组为
设有非齐次线性方程组 + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 （4.7） 若记 T m T j (a j ,a j ,...,amj ) , j 1,2,....,n, b (b ,b ,...,b ) = 1 2 = = 1 2 ( , ,..., ) , 1 2 T x = x x xn ( , ,..., ) A = 1 2 n 。则（4.7）可写成 Ax = b （4.8） x11 + x2 2 ++ xn n = b （4.9） 容易验证，非齐次线性方程组 Ax = b 的解具有下列性质： （1） 设 1 2 , 是 Ax = b 的解，则 x =1 −2 是对应齐次方程组（也称为 Ax = b 的导出 组） Ax = 0 的解： （2） 若 * 是 Ax = b 的一个解， 是导出组 Ax = 0 的通解，则称 = + * x 为 Ax = b 的通解。 因此，我们得到了关于线性方程组（4.7）的相容性有下列四种等价说法： （1） 方程组 Ax = b 有解； （2） R(A) = R(B), 其中 B = (A,b), （3） 向量 b 可由向量组 n , ,..., 1 2 线性表示， （4） 向量组 n , ,..., 1 2 与 1 , 2 ,..., n ,b 等价。 3. 举例 例 4.17 求方程组的基础解系和通解 − − + = − + − = − − + = 2 3 0 3 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解： − − − → − − − → − − − − → − − − − − − = + + − − 0 0 0 0 0 0 1 2 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 2 1 1 1 1 0 0 1 2 0 0 2 4 1 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 3 1 1 1 1 1 2 2 3 2 2 1 3 1 2 1 r r r r r r r r r A 因 R(A) = 2,n = 4 ，故基础解系有两个解，保留方程组为
取(x2,x4)=(10),(01,解得(x1,x3)=(10),(1,2), 基础解系为5=(10.0),2=(02,1),通解为x=k1+k2l2(k1,k2∈R) 例4.18求方程组的通解 x1+r2 3x1+2x2-3x3+4x4=4 x1+2x2-9x3-8x4=0 11-3-11 11-3-11 B=32-344→0-1671|→0-167 12-9-80 01-6-7-1)(00000 10362 00000 于是有 (4.10) x2=6x3+7x4-1 通解为x=(2-10.0)+k(-36,0)+k2(-6,7,0,1)(k1,k2∈R) 若在(410)中令 6k,+7k +k 0 (k1k2∈R 0 这也是求非齐次线性方程组通解的一种方法
= = + 3 4 1 2 4 x 2x x x x 取 ( , ) (1,0),(0,1), x2 x4 = 解得 ( , ) (1,0),(1,2) x1 x3 = ， 基础解系为 T T (1,1,0,0) , (1,0,2,1) 1 = 2 = ，通解为 ( , ) x = k1 1 + k2 2 k1 k2 R 例 4.18 求方程组的通解 + − − = + − + = + − − = 2 9 8 0 3 2 3 4 4 3 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解 ⎯ ⎯→ − − − − → − − − − − − → − − − − − = + − + − 0 0 0 0 0 0 1 6 7 1 1 0 3 6 2 0 0 0 0 0 0 1 6 7 1 1 1 3 1 1 0 1 6 7 1 0 1 6 7 1 1 1 3 1 1 1 2 9 8 0 3 2 3 4 4 1 1 3 1 1 1 2 3 1 3 2 2 1 3 r r r r r r r r B 于是有 = + − = − − + 6 7 1 3 6 2 2 3 4 1 3 4 x x x x x x （4.10） 通解为 (2, 1,0,0) ( 3,6,1,0) ( 6,7,0,1) ( , ) x k1 k2 k1 k2 R T T T = − + − + − 若在（4.10）中令 − + − + − = + − − − + = = 0 0 1 2 1 0 7 6 0 1 6 3 6 7 1 3 6 2 1 2 2 1 1 2 1 2 4 3 2 1 k k k k k k k k x x x x x ( , ) k1 k2 R 这也是求非齐次线性方程组通解的一种方法
