正定二次型 (李治飞) 教学目标与要求 通过本节的学习使学生正确掌握正定二次型与正定矩阵的概念,了解惯性定理,学会如 何判断一个二次型为正定的二次型,一个实对称矩阵为正定矩阵 ●教学重点与难点 教学重点:正定二次型与正定矩阵的定义 教学难点:如何判断正定二次型及正定矩阵。 ●教学方法与建议 通过简单的例子使学生能直观地看到:二次型的标准型不是唯一的,从而引入惯性定理. 对标准形各种情况的讨论使学生易于理解正(负)定二次型、正(负)定矩阵及半正(负) 定二次型、半正(负)定矩阵等基本概念,进而给出正定二次型、正定矩阵等概念的定义以 及正定二次型、正定矩阵的判别法。 ●教学过程设计 1.问题的提出:二次型的标准型是否唯一呢? (1)举例:将二次型:∫=2x1x3+x2化为标准型 V2 o V2 解 通过正交变换: 010 50 可得标准型∫=-y2+y2+y2(见前节例) 10-1 解二:通过可逆变换:x2|=010y2 101 可得标准型∫=2y2+y2-2y2 (由此知:通过不同可逆变换而得到的二次型的标准型可能是不同的,那么不同的标准 型之间有怎样的相同性呢?) (2)惯性定理
正定二次型 （李治飞） ⚫ 教学目标与要求 通过本节的学习,使学生正确掌握正定二次型与正定矩阵的概念,了解惯性定理,学会如 何判断一个二次型为正定的二次型,一个实对称矩阵为正定矩阵. ⚫ 教学重点与难点 教学重点：正定二次型与正定矩阵的定义. 教学难点：如何判断正定二次型及正定矩阵。 ⚫ 教学方法与建议 通过简单的例子使学生能直观地看到: 二次型的标准型不是唯一的,从而引入惯性定理. 对标准形各种情况的讨论使学生易于理解正（负）定二次型、 正（负）定矩阵及半正（负） 定二次型、半正（负）定矩阵等基本概念，进而给出正定二次型、正定矩阵等概念的定义以 及正定二次型、正定矩阵的判别法。 ⚫ 教学过程设计 1. 问题的提出： 二次型的标准型是否唯一呢？ （1）举例：将二次型： 2 2x1 x3 x2 f = + 化为标准型 解一： 通过正交变换： 3 2 1 x x x = − 2 0 1 2 1 0 1 0 2 0 1 2 1 3 2 1 y y y 可得标准型 2 3 2 2 2 1 f = − y + y + y (见前节例) 解二： 通过可逆变换：： 3 2 1 x x x = − 1 0 1 0 1 0 1 0 1 3 2 1 y y y 可得标准型 2 3 2 2 2 f = 2 y1 + y − 2 y ( 由此知：通过不同可逆变换而得到的二次型的标准型可能是不同的，那么不同的标准 型之间有怎样的相同性呢？) （2）惯性定理
定理:设实二次型f=xAx的秩为r,有两个实可逆变换:x=cy及x=py 使f=ky2+k2y2+…+ky2(k1≠0,i=1,…,r) 及∫=y21+2y2+…+,y2(λ,≠0,i=1,…r) 则 与λ1.2,…,λ,中所含正数的个数相等。 (注:证明略。仅由前面的实例加以说明。) (3)二次型f=xAx其标准型可分以下几种情形。 ①f=ky1+ky2+…+ky。(k>0,r=n,i=1,…,n)……正定二次型 ②f=ky1+ky2+…+ky:(k>0,r0,r=n,i=1,…,n)……负定二次型 ④f=-ky2-ky2-…-ky2(k>0,r0(或0 ③A的特征值全大于0 ④存在满秩矩阵U,使A=UU ⑤A的所有前主子式均大于0 (注:(1)引导学生给出为负定矩阵的几个等阶条件。 (2)等价条件⑤即为霍尔维兹定理加以说明,尤其是当A为负定时的) 4.举例 例1判断A=123的正定性 136 f(x)=xAx=x2+2x2+6x2+2x1x2+2x1x2+6x2x3 1+x2+x3)2+(x2+2x3)2+x3 A为的正定性
定理：设实二次型 ƒ = x T Ax 的秩为 r， 有两个实可逆变换: x=cy 及 x=py 使 ƒ = k1y 2 1 + k2y 2 2 + … +kry 2 r (ki 0, i=1, …,r) 及 ƒ = 1 y 2 1 + 2 y 2 2+ … + r y 2 r ( i 0, i=1, …,r) 则： k1, k2,…, kr 与 1 , 2 , … , r 中所含正数的个数相等。 ( 注：证明略。仅由前面的实例加以说明。) （3）二次型 ƒ = x T Ax 其标准型可分以下几种情形。 ①ƒ = k1y 2 1 + k2y 2 2 + … +kny 2 n (ki>0,r=n, i=1,…,n)……正定二次型 ②ƒ = k1y 2 1 + k2y 2 2 + … +kry 2 r (ki>0,r0,r=n, i=1,…,n)……负定二次型 ④ƒ = -k1y 2 1- k2y 2 2 - … -kry 2 r (ki>0,r 0 (或 0 ③ A 的特征值全大于 0 ④存在满秩矩阵 U,使 A = UT U ⑤ A 的所有前主子式均大于 0 (注：（1）引导学生给出 为负定矩阵的几个等阶条件。 （2）等价条件⑤即为霍尔维兹定理加以说明，尤其是当 A 为负定时的) 4.举例： 例 1 判断 A = 1 3 6 1 2 3 1 1 1 的正定性 “解一”: ƒ(x)= x T Ax = x1 2 +2x2 2 +6x3 2 +2x1x2 +2x1x3 +6x2x3 = (x1+x2+x3) 2 + (x2+2x3) 2 +x2 3 A 为的正定性
解二 >0,123>0 A为正定的 例2:设A为n阶正定矩阵,B为m×n阶矩阵,证明BAB为正定的R(B)=n 设X≠0 B'AB为正定的 X(BAB)X>O 即(Bx)A(Bx)>0 又 A为正定矩阵 BX≠0 当X≠0时Bx=0 R(B=n
“解二”: 1>0, 1 2 1 1 >0, 1 3 6 1 2 3 1 1 1 >0 A 为正定的 例 2: 设 A 为 n 阶正定矩阵，B 为 m×n 阶矩阵, 证明 B T AB 为正定的 R(B)= n 证: 设 x≠0 B T AB 为正定的 x T (BTAB)x>0 即 (Bx) TA (Bx )>0 又 A 为正定矩阵 Bx≠0 当 x≠0 时 Bx= 0 R(B)= n ( 略)