§92偏导数 偏导数定义 二、高阶偏导数
§9.2 偏导数 一、偏导数定义 二、高阶偏导数
偏导数定义 引例研究弦在点x处 时刻的振动速度就是将振1(x0,t 幅(x,t)中的x固定于x处, 求u(x,t)在t的导数 O 0 du( xo D= lim u(xor 4o+A0)-u(xo, o) 同样,研究弦在点x处时刻弦的斜率就是将(x,t) 中的t固定于时刻,求u(x,在x处的导数 du(x, to lim d △x→>0 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 一、 偏导数定义 引例 研究弦在点 x0 处 u(x, t) 0 o x x u ( , ) 0 u x t 幅 u( x, t )中的 x 固定于x0 处, x u x x t u x t dx du x t x x x ( , ) ( , ) lim ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 + − = → = 同样, 研究弦在点 x0 处 t0 时刻弦的斜率,就是将u( x, t ) 求u(x0 , t )在 t0 的导数. 中的 t 固定于t0 时刻, 求u (x , t0 )在 x0 处的导数. t0 时刻的振动速度 , t u x t t u x t dt du x t t t t ( , ) ( , ) lim ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 + − = → = 就是将振 l
定义1设函数z=f(x,y)在点(x02y)的某邻城内极限 lim 4 z= lim /(o+Ar,yo)-/(o, yo) Az为偏增量 Ax→)0Ax Ax→>0 △x 存在,则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x02y)对x 的偏导数,记为 0y0 ax(o, yo) x(x0,y0) ax(xo, yo) f(xo, yo) 即:fx(x0,y0)=lim2(+△x,y0)-f(xo,yo) △x→>0 同样可定义对y的偏导数 f,(x0,y0) f(o, yo+Ay)-f △y->0 △ 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 定义1 z = f (x, y) 在点 存在, z f (x, y) 在点(x , y ) 对x = 0 0 的偏导数，记为 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内极限 ; ( , ) 0 0 x x y f x + x 0 0 x 则称此极限为函数 设函数 x ; ( , ) 0 0 x x y z ( , ). 1 0 0 f x y x f x x y f x y x + − = → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 ( , ) 0 0 f x y 即 x : x z 为偏增量 同样可定义对 y 的偏导数 lim →0 = y ( , ) 0 0 f x y y ( , ) 0 f x ( , ) 0 − f x y y + y 0 0 y
偏导数的几何意义 f dx f(x, yo)x 是曲线2=f(x在点M处的切线 0 M0Tx对x轴的斜率 y f(xo,y) ayy=yo d y=yo 是曲线 f(x,y) 在点M处的切线M07,对y轴的 X= 斜率 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 偏导数的几何意义 0 0 ( , ) d d 0 0 x x f x y x x f x x y y = = = = = = 0 ( , ) y y z f x y M0Tx 0 0 ( , ) d d 0 0 y y f x y y y f x x y y = = = = 是曲线 M0Ty 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 y x z 0 x Ty o Tx 0 y M0 对 y 轴的
若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x 或y偏导数存在,则该偏导数称为偏导函数,也简称 为偏导数,记为 fr(x,y),fi(,y) az af or f(x,y),f(xy),0, dy ay 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的 偏导数定义为 f(x, y, z)=lim f(x+△x,y,z)-f(x,y △x->0 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为 , 也简称 ( , ) , ( , ) 2 f x y f x y y , 记为 或 y 偏导数存在 , y z y f y z , , ， 偏导函数 为偏导数 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . x x + x x 偏导数定义为
例1求z=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数 解法10z az 2x+3 3x+2 ax y z 2·1+3·2=8 Oy(1,2 3·1+2.2=7 解法2 y=2=x+6x+4 2 x(1,2) (2x+6 1+3+y 3+2y) 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 例1 求 2 2 z = x + 3xy + y 解法1 = x z x (1,2) z 解法2 x (1, 2) z 在点(1 , 2) 处的偏导数. y (1, 2) z 2x + 3y , = y z 3x + 2y y (1,2) z 6 4 2 = x + x + x=1 z 2 =1+ 3y + y y=2 z
高阶偏导数 设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数 az axfr(x,y) f,(r, y) y 若这两个偏导数仍存在偏导数,则称它们是z=f(x,y) 的二阶偏导数.按求导顺序不同,有四个二阶偏导数 0Oz、0 frr(x,y); fxv(x, y) Ox ax a Oxy Myr(x, y) fv(x, y) x dy ayax dy ay a 类似可以定义更高阶的偏导数.逐次求导 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 二、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 ( , ) , f (x, y) y z f x y x z x = y = 若这两个偏导数仍存在偏导数， ( ) x z ( ) y z x ( ) x z y ( ) ( , ) 2 2 f x y y z y z y = y y = 则称它们是z= f ( x, y ) 的二阶偏导数. 按求导顺序不同, 有四个二阶偏导数： 2 2 x z = f (x, y); = xx x y z = 2 f (x, y) = x y ( , ); 2 f x y y x z = y x = x 类似可以定义更高阶的偏导数. 逐次求导