第五章婧征值揞征向量二次型 第一讲正交向量组与正交矩阵 第二讲方阵的特征值与特征向量 第三讲相似矩阵与实对称矩阵的对角化 第四讲二次型及其标准形 第五讲惯性定理和正定二次型 第六讲习题课
1 第一讲 正交向量组与正交矩阵 第二讲 方阵的特征值与特征向量 第三讲 相似矩阵与实对称矩阵的对角化 第四讲 二次型及其标准形 第五讲 惯性定理和正定二次型 第六讲 习题课 第五章 特征值 特征向量 二次型
第一讲正交向量组与正交矩阵 向量的内积与许瓦兹 1.内积 2.向量的范数 ( Schwarz)不等式 3.许瓦兹不等式 内积 内积定义:对n维列向量 x=. ),y=(n,y2…,yn 称xy=x1y1+x22+…+xnJn 为向量x与y的内积,记为[y 西安建大
西安建大 第一讲 正交向量组与正交矩阵 一．向量的内积与许瓦兹 （Schwarz）不等式 １．内积 内积定义：对 维列向量 称 为向量 与 的内积，记为 ． n ( ) ( ) T n T n x x , x , , x , y y , y , , y = 1 2 = 1 2 n n T x y = x1 y1 + x2 y2 ++ x y x y x, y １．内积 ２．向量的范数 ３．许瓦兹不等式
内积满足下列运算规律: ()[x,y=[y,x] (2)[kx,y]=kx,y] 3)[x+y,z]=[x,z]+[y,z 2.向量的范数 定义:n维向量x的长度(或者)范数为 2 x,十…+x 2 记为 西安建大
西安建大 内积满足下列运算规律： ⑴ x, y= y, x ⑵ kx, y= kx,y ⑶ x + y,z= x,z+ y,z ２．向量的范数 定义： n 维向量 x 的长度（或者）范数为 2 2 2 2 x x1 x xn x, = + ++ 记为 x ．
范数性质: ()非负性:对任何向量x,有|x≥0 当且仅当x=0时,|x|=0 (2)齐次性:‖kx=|k|‖x‖ (3)三角不等式:|x+川y≤|x+|y 当‖x‖=1时,称x为单位向量 西安建大
西安建大 范数性质： ⑴非负性：对任何向量 ，有 ， 当且仅当 时， ； x x 0 x = 0 x = 0 ⑵齐次性： kx = k x ； ⑶三角不等式： x + y x + y . 当 x =1 时，称 x 为单位向量
3.许瓦兹( Schwarz)不等式 对任何实数k和n维向量,有 [kx+y,kx+y]≥0 即k2[x,x]+2k[x,y+[py,y]≥0 所以(2x,y-4x,xy,y]≤0 [x,y≤[x,x]ly,y](5 上式被称为许瓦兹( Schwarz)不等式 西安建大
西安建大 ３．许瓦兹（Schwarz）不等式 对任何实数 和 维向量，有 即 所以 即 （５．１） 上式被称为许瓦兹（Schwarz）不等式. k n kx + y,kx + y 0 2 0 2 k x, x + k x, y + y, y (2 ) 4 0 2 x, y − x, x y, y x, y x, xy, y 2
正交向量组与正交化方法 1.正交向量组 1.正交向量组 2.施密特正交化方法 当|x‖yl≠0时,定义向量x与y夹角O的 余弦为:cosO=1x,y 当[x,y]=0时,称向量x与y正交 显然,零向量与任何向量正交 西安建大
西安建大 二．正交向量组与正交化方法 １．正交向量组 １．正交向量组 ２．施密特正交化方法 当 时，定义向量 与 夹角 的 余弦为： x y 0 x y x y x, y cos = 当 x, y= 0 时，称向量 与 正交． 显然，零向量与任何向量正交． x y
正交向量组:对不含零向量的向量组,若其中 的向量两两正交,则称该向量组为 正交向量组 例如:n维单位坐标向量组就是一个正交向量组 如果向量空间的一组基是正交向量组则称它为 向量空间的正交基 西安建大
西安建大 正交向量组：对不含零向量的向量组，若其中 的向量两两正交，则称该向量组为 正交向量组． 例如： n 维单位坐标向量组就是一个正交向量组． 如果向量空间的一组基是正交向量组,则称它为 向量空间的正交基
定理5.1若a1,O2, 为正交向量组 则它线形无关 证明:设有数1 k,使 k11+……+k 0 两边同时左乘a得kCc2=0 因为a1cx2≠0,所以k1=0(i=1,2,…,r) 因此ax1,2…,线形无关 西安建大
西安建大 定理５．１ 若 为正交向量组， 则它线形无关． 证明：设有数 使 两边同时左乘 得 ， 因为 ，所以 因此 线形无关． r 1 ,2 , , kr k1 , , k1 1 ++ kr r = 0 T i i = 0 T ki i i 0 T i k (i , , ,r ) i = 0 = 1 2 r 1 ,2 , ,
定理5.2若C1,C2 C为n维正交向 量组,且r<n,则必有非零n维向量x 使x与C1,C2y…,C两两正交 推论:对r(r<n)个两两正交的n维非零向量,总 可以添上n一P个n维非零向量,使n个向 量两两正交,从而这n个向量就构成了向量空 间R"的一组正交基 西安建大
西安建大 r x 1 ,2 , , 定理5．２ 若 为 维正交向 量组，且 ，则必有非零 维向量 ， 使 与 两两正交． r 1 ,2 , , n r n n x 推论：对 个两两正交的 维非零向量，总 可以添上 个 维非零向量，使 个向 量两两正交，从而这 个向量就构成了向量空 间 的一组正交基． r(r n) n n− r n n n n R
例5.1已知R的一个向量a1=(1,1,1), 求R3的一组正交基 解:求a2=(x2 ),使a1a2=0 即:x21+x2+x23=0 得a2=(1,0,-1)与a1正交 再求a3=(x31,x32,x3),使(a1,a2ya3=0 得a3=(1,-2,1)即为所求 1,C2,a3就构成了R3的一组正交基 西安建大
西安建大 例５．１ 已知 的一个向量 ， 求 的一组正交基． 3 R ( ) T 1 = 1 ,1 ,1 3 R 解：求 ，使 即： 得 与 正交． 再求 ，使 得 即为所求． 就构成了 的一组正交基． ( ) T 2 = x21 , x22 , x23 1 2 = 0 T x21 + x22 + x23 = 0 ( ) T 2 = 1 ,0 ,−1 1 ( ) T 3 = x31 , x32 , x33 (1 2 ) 3 = 0 T , ( ) T 3 = 1, − 2 ,1 1 2 3 , , 3 R