向量组的线性相关性 (杨威郭乔) 教学目的与要求 通过学习,使学生理解向量组的线性相关、线性无关概念,掌握判定向量组线性相关性 的方法 教学重点与难点 教学重点:线性相关,线性无关的概念 教学难点:线性相关性的判定 教学方法与建议 先从简单的例子出发,使学生看到在解线性方程组的时候,有的方程是多余的,从向量 的角度来看,就是其中的一些向量是其余向量的线性组合。从而引出线性相关、线性无关的 概念,并给出判别方法。 ·教学过程设计 1.问题的提出 x+2y-z=0 2 方程组{2x-3y+z=0用向量的形式表示出来x2+y-3|+引1|=0|, 4x+y-z=0 4 不难看出,其中第3个方程是多余的,我们从向量的角度来讨论这个问题 此方程组对应着三个向量ax1=(1,24),a2=(2-31),a3=(-1-1),所谓的第 三个方程是多余方程反映到他们对应的向量上就是0>9、3 a1+3a2+7a3=0,即a3可由a1和a2线性运算得到,此时称a3是a1,a2的线性组合。 2.线性相关和线性无关 定义4.1对于向量a1,a2,am,a,如果有数k1,k2y…,km使 a=ka1+k2a2+…+knam,则称向量a是向量a1,a 的线性组合,或a可由 向量a1,a2…,am线性表示。 定义4.2设有n维向量a1a2…,am,如果存在不全为零的数k,k2…,km,使 K,a+k,a2 ka.=0 则称此向量a1,a2…am线性相关的,否则称为线性无关
向量组的线性相关性 （杨威 郭乔） ● 教学目的与要求 通过学习，使学生理解向量组的线性相关、线性无关概念，掌握判定向量组线性相关性 的方法。 ●教学重点与难点 教学重点：线性相关，线性无关的概念 教学难点：线性相关性的判定 ●教学方法与建议 先从简单的例子出发，使学生看到在解线性方程组的时候，有的方程是多余的，从向量 的角度来看，就是其中的一些向量是其余向量的线性组合。从而引出线性相关、线性无关的 概念，并给出判别方法。 ● 教学过程设计 1. 问题的提出 方程组 + − = − + = + − = 4 0 2 3 0 2 0 x y z x y z x y z 用向量的形式表示出来 = − − + + − 0 0 0 1 1 1 1 3 2 4 2 1 x y z ， 不难看出，其中第 3 个方程是多余的，我们从向量的角度来讨论这个问题。 此方程组对应着三个向量 T (1,2,4) 1 = ， (2, 3,1) , 2 T = − T ( 1,1, 1) 3 = − − ，所谓的第 三 个 方 程 是 多 余 方 程 反 映 到 他 们 对 应 的 向 量 上 就 是 3 1 1 7 3 7 1 = − − 或 1 + 3 2 + 7 3 = 0 ，即 3 可由 1 和 2 线性运算得到，此时称 3 是 1 2 , 的线性组合。 2. 线性相关和线性无关 定义 4.1 对于向量 , ,..., , , 1 2 m 如果有数 k k km , ,..., 1 2 使 = k11 + k2 2 ++ km m ，则称向量 是向量 m , ,..., 1 2 的线性组合，或 可由 向量 m , ,..., 1 2 线性表示。 定义 4.2 设有 n 维向量 m , ,..., 1 2 ，如果存在不全为零的数 , ,..., , k1 k2 km 使 k11 + k2 2 ++ km m = 0 则称此向量 m , ,..., 1 2 线性相关的，否则称为线性无关
注意:1.若向量组中含有零向量,则向量组一定是线性相关的 2.若向量组中一个向量可由其他向量线性表示,则这组向量一定是线性相关的。 定理4.1n维向量组aa2…,an线性相关的充分必要条件是R(A)n,则该向量组线性相关 证明:由这些向量组成的矩阵记为A,则A是mxn(或n×m)维的,由于m>n, 所以 R(A)≤mn(m,n)=n<m,则该向量组线性相关 定理44若a1,a2,…,a线性相关,则a1,a2…ar,a1…,am也线性相关 证:因a1,a2,a1线性相关,所以存在不全为零的数k1k2,k,使 ka1+k2a2+…+k,a=0,从而存在不全为零的m个数k1,k2,…,k,0,…,0使 ka1+k2a2+…+k,an+0an…+0an=0,因此a,a2…,a1,an12…,an线性相关。 由于一个零向量是线性相关的,所以任何含有零向量的向量组都线性相关。 推论若a1,a2,ar线性无关,则由其中的部分向量构成的向量组线性无关 定理4.3设∝1=(ana12…,an),B=(an1,a12…,an,am1)(i=1,2,,m)若r维向 量组a1,a2…,am线性无关,则r+1维向量组B1,,Bn线性无关 证:显然B=(a1,a1)=1,2,…,m,设有m个数k1,k2,…,km,使 kB1+k2B2+…+knBm=0,即(ka1+…+knam,k1a1r++…+ kamra)=0。因此 有ka1+…+knan=0。由于ax1,a2…,am线性无关,所以当且仅当 k1=k2=…=km=0时才成立。这就表明B1,…,Bm线性无关 推论:r维向量组的每个向量加上n-P个分量成为n维向量。若r维向量组线性无关, 则n维向量组线性无关 3.举例 例4.1讨论向量组c1=(1,1,1),a2=(0,2,5),a3=(,3,6)的线性相关性
注意：1.若向量组中含有零向量，则向量组一定是线性相关的。 2.若向量组中一个向量可由其他向量线性表示，则这组向量一定是线性相关的。 定理 4.1 n 维向量组 m , ,..., 1 2 线性相关的充分必要条件是 R(A) m ，其中 A 是 由 m , ,..., 1 2 组成的 (m n) （或 nm ）维矩阵。 证明：设 i ,i =1,2,...,m ，为 n 维列向量，下面证明有 m 个不全为零的数 x x xm , ,..., 1 2 使 1 1 2 2 0 x + x ++ xm m = 的充分必要条件是 R(A) m 。 1 1 2 2 0 x + x ++ xm m = 即 Ax = 0 有非零解的充分必要条件是 R(A) m 。 推论 对 m 个 n 维向量，若 m n ，则该向量组线性相关。 证明：由这些向量组成的矩阵记为 A ，则 A 是 mn (或 nm )维的，由于 m n， 所以 R(A) min( m,n) = n m ，则该向量组线性相关。 定理 4.4 若 r , ,..., 1 2 线性相关，则 r r m , ,..., , ,..., 1 2 +1 也线性相关。 证：因 r , ,..., 1 2 线性相关，所以存在不全为零的数 k k kr , ,..., 1 2 使 k11 + k22 ++ krr = 0 ，从而存在不全为零的 m 个数 k1 ,k2 ,...,kr ,0,...,0 使 k11 + k2 2 ++ kr r + 0 r+1 + 0 m = 0 ，因此 r r m , ,..., , ,..., 1 2 +1 线性相关。 由于一个零向量是线性相关的，所以任何含有零向量的向量组都线性相关。 推论 若 r , ,..., 1 2 线性无关，则由其中的部分向量构成的向量组线性无关。 定理 4.3 设 ( , ,..., ) i = ai1 ai2 air ， ( , ,..., , ) i = ai1 ai2 air air+1 (i = 1,2,...,m) 若 r 维向 量组 m , ,..., 1 2 线性无关，则 r +1 维向量组 m ,..., 1 线性无关。 证： 显然 i = ( i ,ai+1 ),i =1,2,...,m ，设有 m 个数 k k km , ,..., 1 2 ，使 k11 + k2 2 ++ km m = 0 ，即 (k11 ++ km m ,k1a1,r+1 ++ kmam,r+1 ) = 0 。因此 有 k11 ++ km m = 0 。由于 m , ,..., 1 2 线性无关，所以当且仅当 k1 = k2 == km = 0 时才成立。这就表明 m ,..., 1 线性无关。 推论： r 维向量组的每个向量加上 n−r 个分量成为 n 维向量。若 r 维向量组线性无关， 则 n 维向量组线性无关。 3. 举例 例 4.1 讨论向量组 T (1, 1, 1) 1 = ， T (0, 2, 5) 2 = ， T (1, 3, 6) 3 = 的线性相关性
解:以所给向量为列组成矩阵A 101 101 10 A=123→)022 1561055 000 因R(A)=2<3向量个数),所以所给向量组线性相关。 例4.2讨论n维单位坐标向量e12,en的线性相关性 解:因为R(A)=R(e1,e2y…,En)=n,所以向量组线性无关。 例43设a1,a2,a13线性无关,试证B1=a1+a2,B2=a2+a3,B3=a3+a1线性 无关 证:不妨设a1,a2,a2均为列向量,则 101 (B1,月、B)=(a1a2,a1)110=(a,a2a3)C 因为矩阵C可逆,所以C可表示为有限个初等矩阵的乘积,即矩阵(B,月2,B3)可认为由矩 阵(a1a2,a3)经有限次初等列变换得到,从而矩阵(B1,B2,B3)的秩等于矩阵(a1,a2,a3) 的秩,而(a1,a2,a3)的秩为3,所以(月,B2,B3)的秩为3,因此(B1,B2月3)线性无关 例44设a,a2…,a线性无关,若a1,a2…,a1B线性相关,则B可由a1,a2…,ax1 线性表示。 证:因a1,a2,ar1,月线性相关,故有不全为零的数k1,k2…,k,使得 ka1+k2a2+…+k,a1+kB=0。要证B可由a1,a2…,ax,线性表示,只需证k≠0。 用反证法,设k=0,则k,k2,k不全为零且能使k1a1+k2a2+…+kar1=0,这 与a,a2,1线性无关矛盾,矛盾表明k≠0,即B可由a2a2,a1表示为 ka1+k2a2+…+k,a1) 例4.5讨论向量组a1=(100,23),a2=(0,10.46)a3=(0.0,.2,2)的线性相关性 解:因为向量a1a2,a3分别是由e1=(100,e2=(010)e3=(0.01)加上两个分量得 到的,而e1,e2,e3线性无关,所以根据上面的结论知a1,a2a3线性无关
解： 以所给向量为列组成矩阵 A − → = − − 0 0 0 0 2 2 1 0 1 2 5 0 5 5 0 2 2 1 0 1 1 5 6 1 2 3 1 0 1 3 2 2 1 3 1 A r r r r r r 因 R(A) = 2 3(向量个数) ，所以所给向量组线性相关。 例 4.2 讨论 n 维单位坐标向量 n e ,...,e 1 的线性相关性。 解： 因为 R(A) = R(e1 ,e2 ,...,en ) = n ，所以向量组线性无关。 例 4.3 设 1 2 3 , , 线性无关，试证 1 1 2 2 2 3 = + , = + ， 3 =3 +1 线性 无关。 证： 不妨设 1 2 3 , , 均为列向量，则 ( , , )C 0 1 1 1 1 0 1 0 1 ( , , ) ( , , ) 1 2 3 1 2 3 = 1 2 3 = 因为矩阵 C 可逆，所以 C 可表示为有限个初等矩阵的乘积，即矩阵 ( , , ) 1 2 3 可认为由矩 阵 ( , , ) 1 2 3 经有限次初等列变换得到，从而矩阵 ( , , ) 1 2 3 的秩等于矩阵 ( , , ) 1 2 3 的秩，而 ( , , ) 1 2 3 的秩为 3，所以 ( , , ) 1 2 3 的秩为 3，因此 ( , , ) 1 2 3 线性无关。 例 4.4 设 r , ,..., 1 2 线性无关，若 1 ,2 ,...,r , 线性相关，则 可由 r , ,..., 1 2 线性表示。 证： 因 1 ,2 ,...,r , 线性相关，故有不全为零的数 , ,..., , k1 k2 kr 使得 k11 + k22 ++ krr + k = 0 。要证 可由 r , ,..., 1 2 线性表示，只需证 k 0。 用反证法，设 k = 0 ，则 k k kr , ,..., 1 2 不全为零且能使 k11 + k22 ++ krr = 0 ，这 与 r , ,..., 1 2 线性无关矛盾，矛盾表明 k 0 ，即 可由 r , ,..., 1 2 表示为 ( ) 1 k1 1 k2 2 kr r k + + + − = 例 4.5 讨论向量组 (1,0,0,2,3), (0,1,0,4,6), (0,0,1,2,2) 1 = 2 = 3 = 的线性相关性。 解：因为向量 1 2 3 , , 分别是由 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) e1 = e2 = e3 = 加上两个分量得 到的，而 1 2 3 e ,e ,e 线性无关，所以根据上面的结论知 1 2 3 , , 线性无关