§91多元函数的基本概念 一、n维空间与点集 多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
§9.1 多元函数的基本概念 一、 n 维空间与点集 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
n维空间与点集 1.n维空间(首先回忆三维空间的概念)R3=R×RxR 3维空间R={(x1,x2x3)|x1∈R,x2∈R,x3∈R} 点x=(x1,x2,x3)与y=(y1,y2y3)之间的距离 p(x,y)=V(x1-y1)2+(x2-y2)2+(x3-y3) 原点就是零元O=(0,0,0),也叫零向量 点x=(x1,x2,x3)也叫向量,向量的模为 xl|x=√x2+x2+x2(即到O的距离 加法:x+y=(x1+y1,x2+y2x3+y3)对加法和数 数乘:Ax=(4x1,x2,x3) 乘运算封闭 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 一、n 维空间与点集 1. n 维空间 （首先回忆三维空间的概念） 3 维空间 （即x到O的距离） 乘运算封闭 对加法和数 R = R RR 3
将3维空间特殊到2维空间:R2=RxR 2维空间R2={(x1,x2)x1∈R,x2∈R} 点x=(x1,x2)与y=(y1,y2)之间的距离 p(x,y)=(x1-n)2+(x2-y2) 原点就是零元O=(0,0),也叫零向量 点x=(x1,x2)也叫向量,向量的模为 ‖xx|=x2+x2(即x到O的距离 加法:x+y=(x1+1,x2+)团对加法和数 数乘:λx=(λx1,x2) 乘运算封闭 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 2 维空间 将3 维空间特殊到2 维空间： （即x到O的距离） 乘运算封闭 对加法和数 R = R R 2
将3维空间推广到n维空间: 第k个坐标 n维空间R"={(x1,x,…,x,)x∈R,k=1,2,“,n} 点x=(x1,x2,…,xn)与y=(几,y2,…,yn)的距离: p(x,y)=v(x1-y1)2+(x2-y2)2+…+(xn-yn) 原点就是零元O=(0,0,…,0),也叫零向量 点x=(x1,x2,…,xn)也叫向量,向量的模为 xl|=x2+x2+…+x2(即x到O的距离 加法:x+y=(x+y,x2+2,“…x+n)团加法和 数乘:λx=(λx1,λx2,…,xn) 乘运算封闭 x→)a分‖x-a|→0x1→41,x2→a2,x3→a3 高等数学(ZYH) 因宮可
高等数学（ZYH） n 维空间 将3 维空间推广到 n 维空间： （即x到O的距离） 乘运算封闭 对加法和数 第k个坐标 1 1 2 2 3 3 x → a || x − a ||→ 0 x → a , x → a , x → a
2.邻城 称点集U(a,06)={x|x∈R",p(x,a)<6} 为(n维空间中)点a的邻简称为a的邻域 如:在平面上是圆邻城 U(,6)={(x,)(x-x1)2+(y-n)2<6} 在三维空间中是球邻城 U(P)={(x,,z(x=x)+(y-)+(=动)<8 若无需强调邻城半径也可将a的邻城写成U(a 点a的去心邻域记为U(a)={x10<p(x,a)<6} 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 0 (x,a) δ 2. 邻域 称点集 为（n 维空间中）点 a 的 邻域.简称为a 的邻域. 如：在平面上是圆邻域 U( P0 , δ ) = (x, y) 在三维空间中是球邻域 U( P0 , ) = (x, y,z) 若无需强调邻域半径 ,也可将a 的邻域写成 U( a). 点 a 的去心邻域记为 x R , (x,a) δ n
3.内点、外点、边界点 设有点集E及一点P E 若存在点P的某邻城U(P) E 则称P为E的内点; 若存在点P的某邻域U(P∩E=, 则称P为E的外点; 若对点P的任一邻城U(P)既含属于E的点,也含 不属于E的点,则称P为E的边界点 显然:E的内点必属于E,E的外点必不属于E, E的边界点可能属于E,也可能不属于E 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 3. 内点、外点、边界点 设有点集 E 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = , 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含属于 E的点，也含 E 则称 P 为 E 的内点； 则称 P 为 E 的外点 ; 不属于 E的点，则称 P 为 E 的边界点 . 显然： E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 及一点 P
4.区城 若点P的任一去心邻域内总有点集E中的点,则称P 是E的聚点(如内点和某些边界点) E的所有聚点构成的点集称为E的导集,记作E 若点集E的点都是内点,则称E为开集 E的边界点的全体称为E的边界,记作E 若点集EE(或EE′),则称E为闭 集若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相 连称D是连通的 D 连通的开集称为开区域,简称区域 开区域连同它的边界一起称为闭区域 高等数学(ZYH) △
高等数学（ZYH） D 4. 区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集 若点集 E E （或E E' ）, 则称 E 为闭 集 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相 连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域 则称 D 是连通的 连通的开集称为开区域 ,简称区域 。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作 E 若点P 的任一去心邻域内总有点集E 中的点 ,则称 P 是 E 的聚点（如内点和某些边界点） E 的所有聚点构成的点集称为 E 的导集，记作E
对于点集E,若存在正数K,使cU(O,K),则 称E为有界集,否则称E为无界集 例如,在平面上 {(x,y)x+y>0}为无界开区域 {(x,y)1≤x2+y2≤4} X 为有界闭区域 整个平是最大的开区域, 面也是最大的闭区域; 点集{(x,y)|x>}是开集 但非区域 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 有界集 (x, y) x + y 0 ( , ) 1 4 2 2 x y x + y 为无界开区域 为有界闭区域 x y o x y o 1 2 ，在平面上 对于点集 E ，若存在正数 K，使 称 E为 ，否则称E为无界集 . 整个平 面 是最大的开区域 , 也是最大的闭区域； 点集 (x, y) | x 1 是开集， 但非区域 . E U(O,K) 例如 ，则
多元函数的概念 引例圆柱体的体积=xr2h,{(r,h)r>0,h>0 上半球面方程z=a2-x2-y2(x2+p2≤a2) 定义1设非空点集DcR称映射∫:D→R为 定义在D上的n元函数,记作 Ⅱ=f(x1,x2,…,xn),(x1,x2,…,xn)∈D 或u=f(P),P∈D 称D为定义域,x1,x2,…,xn为自变量,u为因变量, 数集{u{u=f(P),P∈D}为函数的值域 特别:n=2,有二元函数z=f(x,y),(x,y)∈DcR n=3,有三元函数u=f(x,y,)(x,y,z)∈DcR 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 二、多元函数的概念 引例 圆柱体的体积 上半球面方程 定义 1 称 D 为定义域 , x1 , x2 ,…, xn 为自变量, u 为因变量, 数集 u u = f ( P ),P D 为函数的值域 . 称映射 为 定义在 D 上的 n 元函数 , 记作 设非空点集 特别: n = 2, 有二元函数 n = 3, 有三元函数
例如,二元函数z=√1-x2-y2 定义域为圆域{(x,y)|x2+y2≤1} 图形为中心在原点的上半球面 又如z=sin(xy),(x,y)∈R 二元函数z=f(x,y),(x,y)D 的图形一般为空间曲面 三元函数u= arcsin(x2+y2+x2) 定义域为单位闭球 x,y,3)x+y2+3≤1 图形为R4空间中的超曲面 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） x z y 例如 2 2 z = 1− x − y 定义域为 ( , ) 1 2 2 圆域 x y x + y 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D 图形为中心在原点的上半球面. 又如,z = sin( x y), 的图形一般为空间曲面 . 1 2 (x, y) R 三元函数 arcsin( ) 2 2 2 u = x + y + z 定义域为 图形为 空间中的超曲面. 单位闭球 x y z o , 二元函数