§82数量积向量积 两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、向量的混合积
§8.2 数量积 向量积 *三、向量的混合积 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积
两向量的数量积 引例设—物体在常力F作用下,沿与力夹角为6 的直线移动,位移为s,则力F所做的功为 W=FS 6=F. S cos(,,S) 1.定义对向量a,b,称 a|·|bcos(ab记作a.b M 为d与b的数量积(点积 注意到 Prj:a=ld|cos(a,b) W=F·.s 则有a.b=|a||bcos(a,b)=b|Prjd=|li|Prib 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） M1 一、两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动, 1. 定义 对向量 称 记作 数量积 (点积) . 引例 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 W F s = M2 a b 为a与b的 s Prjb a W F s = | | | |cos = | | | |cos( , ) F s F s | | | |cos( , ) a b a b a b, , 注意到 则有 a b = | | Prjb = b a | | Prj a | | | |cos( , ) a b a b = a b
2.性质 a·a=a d·b=a|·|bcos(a,b 2)a·b=0 由定义即知 3.运算律 (1)交换律db=b·d (2)结合律(2,为实数) (2a)b=a(b)=A(a·b) (d)(b)=2(a:(b)=4(ab) (3)分配律(d+b)·d=l·d+b·c 证(d+b)c=|l|Pri(a+b)=|l|(Prid+Prib),故之 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 2. 性质 (1) 交换律 (2) 结合律 a ( b) ( a)( b) = ( a ( b)) = (a b) (3) 分配律 证 | | Prj ( ) c ( ) a b c + = + c a b | | ( Prj Prj ) c c = + c a b ,故之 ( ) a b c + = + a c b c 3. 运算律 (1) a a = (2) a b = 0 由定义即知 a b a b a b = | | | |cos( , )
例1证明三角形余弦定理 a+6 2-2ab( 6 证如图设 b cB=a. ca=b. Ab=c a-b B c=(a-b)(a-b)=a.a+bb-2a.b b 6 cos 0 a=a,b=b,c=c a+b--2abcos e 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） A B C a b c 例1 证明三角形余弦定理 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab 证 则 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab 如图 . 设 CB = a, CA = b, AB = c = 2 c (a −b)(a −b)= a a + bb − 2a b 2 = a 2 + b − 2 a b cos a = a , b = b , c = c
4.数量积的坐标表示 设d=a1+a1yj+a2k,b=b1+b,j+bk,则 b=(ar+avj+a k).(bx i+b, j+b2 k) j·j=k·k=1,i·j=j·k=k·i=0 a·b=axbx+a,b+a2b2 两向量的夹角公式 当a,b为非零向量时由于ab=a‖ b cos e,得9 b a、b.+a、b+ab cos 0 b a2+a2+a2、b4+b2+b 高等数学(ZYH) 因宮可
高等数学（ZYH） 4. 数量积的坐标表示 设 则 = 0 x x y y z z =a b + a b + a b 当 为非零向量时, cos = = x x y y z z a b + a b + a b 2 2 2 ax + ay + az 2 2 2 bx + by + bz 由于 a b cos a a i a j a k , = x + y + z b b i b j b k , = x + y + z (a i + a j + a k ) x y z (b i b j b k ) x + y + z i j = j k = k i a b a b 两向量的夹角公式 , 得
例2已知三点M(1,1),4(2,2,1,B(2,2求AMB 解M=(1,1,0),M=(1,0,1 则 COS ZAMB=M4:MB 故∠AMB=z MA MB 2 3 例3设均匀流速为ν的流体流过 个面积为A的平面域,且讠与该平 面域的单位垂直向量n的夹角为0 求单位时间内流过该平面域的流体 A 的质量P(流体密度为) 解P=pA|vc oS 6.n 单位时间内流过的体积 PAv·花(动为单位向量) vCOS 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） MA = ( ), MB = ( ) 例2 已知三点 M (1,1,1), A(2,2,1),B(2,1,2), 求 AMB. 解 1, 1, 0 1,0,1 则 cos AMB = AMB = MA MB MA MB 故 的质量P (流体密度为 ) . 求单位时间内流过该平面域的流体 例3 设均匀流速为 的流体流过 一个面积为A 的平面域 ,且 面域的单位垂直向量 的夹角为 与该平 解 P = = A v v n （n为单位向量） A 单位时间内流过的体积 v | | n
两向量的向量积 引例设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为O 的力F作用在杠杆的P点上,则力F作用在杠杆上的力 矩是一个向量M M= F =OP F sin(OP, F) F 方向 F erp M⊥OPM⊥F P OP→F→M (服从右手规则) M oQ=OP sin 0 =OPsin(OP, F) 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 二、两向量的向量积 引例 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 OQ = O P L Q （服从右手规则） = OQ F OP sin OP F M M ⊥ OP M 矩是一个向量 M : 的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力 F o P F M M ⊥ F 方向： =| | sin( , ) OP OP F = | | | | sin( , ) OP F OP F
1.定义 设a,b的夹角为,定义向量 方向:ca,cb且符合右手规则 模:|dH=d|·|bsin(G,b) 称C为向量a与b的向量积,记作 . C=a×b(又积 c=ax 于是引例中的力矩可表示为M=OP×F 思考:右图三角形面积 a×b 6 b 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 1. 定义 定义向量 方向 : (叉积) 记作 且符合右手规则 模 : 向量积 , 设 a, b的夹角为， c c a, c b | | | | | |sin( , ) c a b a b = b a c 称 c 为向量 a 与b的 c = ab = ab 于是引例中的力矩可表示为 思考: 右图三角形面积 a b S＝
2.性质 (1)axa=0 a×b=a|| b Isin(a,b (2)a,b为非零向量,则a×b=0—a∥b 证当d≠0,b≠0时,dxb=0 d b sin0=0 sin=0,即b=0或xa∥b (零向量与任何向量既都平行又都垂直) 3.运算律 (1)dxb=-b×a (2)分配律(a+b)×c=axc+bxc 证明略) (3)结合律(4a)×b=x(b)=2(a×b) 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 2. 性质 为非零向量, 则 sin = 0，即 = 0 或 (1) a a = 0 (2) a, b ab = 0 a ∥ b 当a 0, b 0时, a ∥ b ab = 0 a b sin = 0 3. 运算律 (2) 分配律 (3) 结合律 (证明略) = −b a (a + b)c =ac + bc ( a)b =a( b) = (ab) (1) ab 证 （零向量与任何向量既都平行又都垂直） | | | | | |sin( , ) a b a b a b =