矩阵的对角化 (李体政徐宗辉) 教学目标与要求 通过学习,使学生明白为什么要进行矩阵的对角化,并且熟练掌握一般方阵对角化的方 法,特别是实对称矩阵的对角化方法 教学重点与难点 教学重点:一般方阵可以对角化的条件及其对角化;实对称矩阵的对角化. 教学难点:求正交矩阵,使实对称矩阵化为对角矩阵 教学方法与建议 先引入相似矩阵的概念,通过分析相似矩阵的性质,让学生看到:讨论方阵与一个对 角矩阵相似(在本节中我们称为矩阵的对角化)的问题是非常有意义的,从而提出矩阵对角 化的两个核心问题 (1)对于任何一个方阵,是否一定可以对角化(即存在性问题); (2)对于一个方阵,若可以对角化,那么如何进行对角化 围绕这两个问题,完成本节课的教学任务 ●教学过程设计 1.问题的提出 我们先引入相似矩阵的概念: 定义1:对于阶数相同的方阵A和B,若存在可逆方阵P,使得 P-lAP= B 则称矩阵A与B相似,记为A~B,而对A进行的运算PAP称为对A进行的相似变换, 可逆方阵P称为把A变为B的相似变换矩阵 利用相似矩阵的定义及前面的知识不难得出如下结论 性质1:设A~B,则有 B 2)r(4)=r(B) 3)|/-4=|/-B,从而具有相同的特征值 说明:性质1表明,假如矩阵A与B相似,则A与B具有相同的行列式、相同的秩 以及相同的特征值.而且很自然地推出,若A与一个对角矩阵∧相似,那么A的主对角线
矩阵的对角化 （李体政 徐宗辉） ⚫ 教学目标与要求 通过学习，使学生明白为什么要进行矩阵的对角化, 并且熟练掌握一般方阵对角化的方 法, 特别是实对称矩阵的对角化方法. ⚫ 教学重点与难点 教学重点： 一般方阵可以对角化的条件及其对角化; 实对称矩阵的对角化. 教学难点： 求正交矩阵，使实对称矩阵化为对角矩阵. ⚫ 教学方法与建议 先引入相似矩阵的概念, 通过分析相似矩阵的性质, 让学生看到: 讨论方阵与一个对 角矩阵相似(在本节中我们称为矩阵的对角化)的问题是非常有意义的, 从而提出矩阵对角 化的两个核心问题: (1) 对于任何一个方阵,是否一定可以对角化(即存在性问题); (2) 对于一个方阵,若可以对角化,那么如何进行对角化. 围绕这两个问题,完成本节课的教学任务. ⚫ 教学过程设计 1. 问题的提出 我们先引入相似矩阵的概念: 定义 1: 对于阶数相同的方阵 A 和 B , 若存在可逆方阵 P , 使得 1 P AP B − = 则称矩阵 A 与 B 相似, 记为 A B , 而对 A 进行的运算 1 P AP − 称为对 A 进行的相似变换, 可逆方阵 P 称为把 A 变为 B 的相似变换矩阵. 利用相似矩阵的定义及前面的知识不难得出如下结论: 性质 1: 设 A B , 则有 1) A B = ; 2) r A r B ( ) = ( ) ; 3) I A I B − = − , 从而具有相同的特征值. 说明: 性质 1 表明, 假如矩阵 A 与 B 相似, 则 A 与 B 具有相同的行列式、相同的秩 以及相同的特征值. 而且很自然地推出, 若 A 与一个对角矩阵 相似, 那么 的主对角线
元素恰好就是A的η个特征值.考虑到对角矩阵是一类性质优良的矩阵,我们进一步会 问 1)是否对任何方阵A,都存在相似变换矩阵P,使PAP=∧(对角矩阵)? 2)对n阶方阵A,若存在相似变换矩阵P,使P-AP=A,如何构造P? 2.一般方阵的对角化 我们先来讨论第二个问题设A~A=dig(A1,A2,…,),并设P=(P1,P2…Pn) 可逆,由PAP=A得AP=PA,即有 (4242…Apn)=(1n1A2P2…λ 由此可见,只要取P=(P13P2…,Pn)的列为矩阵A的n个特征向量即可.因为 可逆,所以P12P2…,Pn应线性无关 所以,我们得出第一个问题的结论:方阵A要与一对角矩阵相似,则A必须要有n 个线性无关的特征向量.进一步有下面的结论 1)由于方阵A的不同特征值所对应的特征向量线性无关,故有 结论1:如果方阵A的n个特征值互不相同,则A可以对角化. 2)若方阵A的n1重特征值与它所对应的线性无关的特征向量的个数m1有m1=n,即A为 非亏损矩阵,那么A有n个线性无关的特征向量,故有 结论2:若方阵A为非亏损矩阵,则A可以对角化 当m,<n,即A为亏损矩阵,这时A没有n个线性无关的特征向量,所以A不能对角 化.综上所述有如下定理 定理1:方阵A可以对角化的充要条件为A是非亏损矩阵 说明: 1)定理1表明,方阵A的对角化问题最终归结为求方阵A的特征值以及求特征值所对 应的齐次线性方程组的基础解系的问题,同时也给出了构造相似变换矩阵P的具体方法 2)一般地,我们不对非亏损矩阵进行一般性的讨论,而仅仅讨论A为实对称矩阵的 情形,这种情形比较简单,而且实际应用上较为常见. 3.实对称矩阵的对角化 和一般的方阵相比,实对称矩阵具有更好的性质: 性质2:设方阵A是实对称矩阵,则有 1)A的所有特征值均是实数 2)A的不同特征值所对应的特征向量不但线性无关,而且相互正交; 定理2:设A为n阶实对称矩阵,则必有正交矩阵P,使 PAP=A=dag(,2…,λ) 其中A,2,…,为A的特征值 说明: 1)定理2表明,任何实对称矩阵A都能对角化为一个对角矩阵A,而且A的主对角线 元素就是A的特征值,同时说明A是非亏损矩阵 2)定理2的证明采用数学归纳法易于学生理解; 3)强调这里的矩阵P不仅可逆,而且是正交矩阵. 这样对于任何实对称矩阵A,第一问题已经得到了圆满的解决,下面通过举例说明如何 求正交矩阵,使实对称矩阵对角化,这也是本节刚开始提出的第二个问题 4.举例
元素恰好就是 A 的 n 个特征值. 考虑到对角矩阵是一类性质优良的矩阵, 我们进一步会 问: 1) 是否对任何方阵 A , 都存在相似变换矩阵 P , 使 1 P AP − = (对角矩阵)? 2) 对 n 阶方阵 A ,若存在相似变换矩阵 P ,使 1 P AP − = , 如何构造 P ? 2. 一般方阵的对角化 我们先来讨论第二个问题. 设 1 2 ( , , , ) A diag = n , 并设 1 2 ( , , , ) P p p p = n 可逆, 由 1 P AP − = 得 AP P = , 即有 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) ( , , , ) Ap Ap Ap p p p n n n = 由此可见, 只要取 1 2 ( , , , ) P p p p = n 的列为矩阵 A 的 n 个特征向量即可. 因为 P 可逆, 所以 1 2 , , , n p p p 应线性无关. 所以, 我们得出第一个问题的结论: 方阵 A 要与一对角矩阵相似, 则 A 必须要有 n 个线性无关的特征向量. 进一步有下面的结论: 1) 由于方阵 A 的不同特征值所对应的特征向量线性无关, 故有 结论 1: 如果方阵 A 的 n 个特征值互不相同, 则 A 可以对角化. 2) 若方阵 A 的 i n 重特征值与它所对应的线性无关的特征向量的个数 mi 有 m n i i = ,即 A 为 非亏损矩阵,那么 A 有 n 个线性无关的特征向量, 故有 结论 2: 若方阵 A 为非亏损矩阵, 则 A 可以对角化. 当 m n i i , 即 A 为亏损矩阵,这时 A 没有 n 个线性无关的特征向量, 所以 A 不能对角 化. 综上所述有如下定理: 定理 1： 方阵 A 可以对角化的充要条件为 A 是非亏损矩阵 说明: 1) 定理 1 表明,方阵 A 的对角化问题最终归结为求方阵 A 的特征值以及求特征值所对 应的齐次线性方程组的基础解系的问题, 同时也给出了构造相似变换矩阵 P 的具体方法. 2) 一般地, 我们不对非亏损矩阵进行一般性的讨论, 而仅仅讨论 A 为实对称矩阵的 情形, 这种情形比较简单,而且实际应用上较为常见. 3. 实对称矩阵的对角化 和一般的方阵相比, 实对称矩阵具有更好的性质: 性质 2: 设方阵 A 是实对称矩阵, 则有 1) A 的所有特征值均是实数; 2) A 的不同特征值所对应的特征向量不但线性无关, 而且相互正交; 定理 2: 设 A 为 n 阶实对称矩阵, 则必有正交矩阵 P , 使 1 1 2 ( , , , ) P AP diag n − = = 其中 1 2 , , , n 为 A 的特征值. 说明: 1) 定理 2 表明, 任何实对称矩阵 A 都能对角化为一个对角矩阵 ,而且 的主对角线 元素就是 A 的特征值, 同时说明 A 是非亏损矩阵; 2) 定理 2 的证明采用数学归纳法易于学生理解; 3) 强调这里的矩阵 P 不仅可逆,而且是正交矩阵. 这样对于任何实对称矩阵 A ,第一问题已经得到了圆满的解决,下面通过举例说明如何 求正交矩阵, 使实对称矩阵对角化,这也是本节刚开始提出的第二个问题. 4. 举例
400 例1设A=031 013 求一正交矩阵P,使P-AP=A 40 1-4=02-3-1|=(2-2)(2-4) 由此得A的特征值为A=2,2=A3=4 当4=2时,解方程组(2/-A)x=0得一个基础解系1=(0,1-1),将其规范化 P2=0 √ 当入2==4时,解方程组(4-4)x=0得一个基础解系 72=(100),n3=(0,1) 由于n2,73恰好正交,所以只要规范化为 P2=(10),P2=(0 因此 010 P=(n2P2,P2)=/7 0 并且 P- AP=diag(2, 4, 4) 由这个例子可见,对于实对称矩阵A,求一个正交矩阵P,使得PAP=A的步骤如 下: 第一步求A的特征值 第二步求对应于每个特征值的特征向量.对单特征值,只需将属于它的特征向量规
例 1 设 400 0 3 1 0 1 3 A = 求一正交矩阵 P , 使 1 P AP − = . 解: ( )( ) 2 4 0 0 0 3 1 2 4 0 1 3 I A − − = − − = − − − − 由此得 A 的特征值为 1 2 3 = = = 2, 4. 当 1 = 2 时, 解方程组 (2 0 I A x − = ) 得一个基础解系 1 (0,1, 1) T = − , 将其规范化 得 1 1 1 0, , 2 2 T p = − 当 2 3 = = 4 时, 解方程组 (4 0 I A x − = ) 得一个基础解系 2 (1,0,0) T = , 3 (0,1,1) T = 由于 2 3 , 恰好正交, 所以只要规范化为 2 (1,0,0) T p = , 3 1 1 0, , 2 2 T p = 因此 ( 1 2 3 ) 0 1 0 1 1 , , 0 2 2 1 1 0 2 2 P p p p = = − 并且 1 P AP diag(2,4,4) − = 由这个例子可见, 对于实对称矩阵 A , 求一个正交矩阵 P , 使得 1 P AP − = 的步骤如 下: 第一步 求 A 的特征值; 第二步 求对应于每个特征值的特征向量. 对单特征值, 只需将属于它的特征向量规
范化;对r重特征值,需要先求出属于它的r个线性无关的特征向量,然后对这r个特征向 量进行正交规范化,这样就可以得到n个两两正交的单位特征向量 第三步以正交规范化的特征向量为列组成矩阵,它就是要求的正交矩阵P,使 PAP=A,这时A的主对角线元素只需按组成P时特征向量的顺序依次将它们所属的 特征值排列即可 说明:由于方程组(-A)x=0的基础解系不唯一,所以由此得到的正交矩阵P 不是唯一的.比如在例1中,对应于A1=2的单位特征向量可取为 对应于A2=13=4的基础解系可取为 72=(11),n3=(-1,1) 由于n2,72不正交,所以需先正交化,取 2=12, 422 53=n3 再将2,53规范化得 B=万求,B=拓 于是 2 √3√6 √2 √6 √3√ 练习1设A 0
范化; 对 r 重特征值,需要先求出属于它的 r 个线性无关的特征向量, 然后对这 r 个特征向 量进行正交规范化, 这样就可以得到 n 个两两正交的单位特征向量; 第三步 以正交规范化的特征向量为列组成矩阵, 它就是要求的正交矩阵 P , 使 1 P AP − = , 这时 的主对角线元素只需按组成 P 时特征向量的顺序依次将它们所属的 特征值排列即可. 说明: 由于方程组 (I A x − = ) 0 的基础解系不唯一, 所以由此得到的正交矩阵 P 不是唯一的. 比如在例 1 中, 对应于 1 = 2 的单位特征向量可取为 1 1 1 0, , 2 2 T p = − 对应于 2 3 = = 4 的基础解系可取为 2 (1,1,1) T = , 3 ( 1,1,1) T = − 由于 2 3 , 不正交, 所以需先正交化, 取 2 2 = , 2 3 3 3 2 2 2 , 422 , , , 3 3 3 T = − = − . 再将 2 3 , 规范化得 2 111 , , 333 T p = , 3 2 1 1 , , 666 T p = − 于是 1 2 0 3 6 1 1 1 2 3 6 1 1 1 2 3 6 P − = − 练习 1 设 2 2 0 2 1 2 0 2 0 A − = − − −
求一正交矩阵P,使PAP=A 练习2问A=3-53能否对角化?若可以,求可逆矩阵P和对角矩阵A 6-64
求一正交矩阵 P ,使 1 P AP − = . 练习 2 问 1 3 3 3 5 3 6 6 4 A − = − − 能否对角化? 若可以, 求可逆矩阵 P 和对角矩阵