西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）9.4 多元复合函数的求导法则

§94多元复合函数的求导法则 多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分

§9.4 多元复合函数的求导法则 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分

多元复合函数求导的链式法则 定理.若函数u=0(),v=v(1)在点t可导,z=f(2v 在点(u,y)处偏导连续,则复合函数z=f(q(t),v() 在点t可导,且有链式法则 dz az du az dv dt au dt ay dt 证:设取增量4,则相应中间变量z 有增量△u,△, 02 △z △ ∧v+O(p )(p=√(△)2+(△n)2) 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） 一、多元复合函数求导的链式法则 定理. 若函数 z = f (u,v) 处偏导连续, 在点 t 可导, t v v z t u u z t z d d d d d d     +   = z 则复合函数 证: 设 t 取增量△t , v v z u u z z     +    = + o (  ) 则相应中间变量 且有链式法则 u v t t 有增量△u , △v

△zOz△a,Oz△,O(p (P=V(△)2+(△)2) △ t du at av△t△t 令∧t→>0,则有△→0,A1→>0, △du△vdv △tdt△tdt 0(P)0(p) N2→ 0 △t △ △t (4t<0时根式前加“-号) dz az du az dv (全导数公式) dt au dt av dt 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） 则有u → 0, v → 0, ( 全导数公式 ) t v v z t u u z t z     +     =   t o  + (  ) z u v t t ( ( ) ( ) ) 2 2  = u + v ( )  o  = (△t＜0 时,根式前加“–”号) t v t v t u t u d d , d d →   →   t v v z t u u z t z d d d d d d     +   =

说明:若定理中f(u,1)在点(u,y)偏导数连续减弱为 偏导数存在,则定理结论不一定成立 例如:z=f)=+p:n2+n2 ≠0 l2+y2=0 u=t. v=t az 易知: fn(0,0)=0 f,(00)=0 v 但复合函数z=f(t dz 1 az du az dv ≠ =0.1+0·1=0 dt au dt ay dt 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） 说明: 若定理中 例如: z = f (u, v) = u = t , v = t 易知: 但复合函数 z = f (t, t) 2 1 d d = t z  t v v z t u u z d d d d     +   = 01+ 01= 0 偏导数连续减弱为 偏导数存在, 2 t = , 0 2 2 2 2 2 +  + u v u v u v 0 , 0 2 2 u + v = 则定理结论不一定成立

推广:设下面所涉及的函数都可微 1)中间变量多于两个的情形例如,z=f(2,1), =((1),=v(1),=0() dz az du az dv az d dt au dt av dt ow dt u y 1 =f19+/2y+f3o 2)中间变量是多元函数的情形例如, flu,v, u=o(x,y), v=y(x, y) azaz au az av Ox ax ay ax fioi+fyi az aaa fio,+fsx yx y 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） 推广: 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z = f (u,v,w) , 设下面所涉及的函数都可微 . = t z d d = + +  1 2 3 f f f 2) 中间变量是多元函数的情形.例如, z = f (u,v) , u = (x, y), v = (x, y) =   x z 11 21 = f   + f   12 2 2 = = f   + f     y z z z u v w u v x y x y t t t t u u z d d    t v v z d d    + t w w z d d    + x u u z      x v v z      + y u u z      y v v z      + u = (t), v = (t), w = (t)

又如,z=f(x,y),v=v(x,y) 当它们都具有可微条件时,有 f azaf.afor axax av ax 升+f2 az af Jf2 注意:这里与不同 ax 表示固定y对x求导 f 表示固定对x求导 口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导 高等数学(ZYH)

高等数学（ZYH） 又如, z = f (x,v), v = (x, y) 当它们都具有可微条件时, 有 x z   1 21 = f  + f   y z   2 2 = f   z = f x x y 注意: 这里 x z   x f   x z   表示固定 y 对 x 求导, x f   表示固定 v 对 x 求导 口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 x f   = 与 不同, v

例1.设z= e siny,l V=x+y,求 az az ax a az 0z Ou az av 解 x ou ox ay ax = e siny·y+e"cosv e Ly. sin(x +y)+cos(x+y)I azaz Ou az av x yx y y ou Cy Ov Oy =esinν:x+ e cosy·1 r] Lx.sin(x+y)+cos(x+y) 高等数学(ZYH) 因宮可

高等数学（ZYH） 例1. 设 z e sin v, u xy , v x y , u = = = + , . y z x z     求 解: x z   e v u = sin y z   e v u = sin x v v z      + e v u + cos y v v z      + e v u + cos 1 1 z u v x y x y