第二章行列式 行列式的定义与性质 行列式的计算 ramer法则 解线性方程组的消元法 消去法的应用 西安建大
西安建大 第二章 行列式 行列式的定义与性质 行列式的计算 Cramer 法则 解线性方程组的消元法 消去法的应用
第一节行列式的定与性质 e问题的引出 m阶行列式的定义 行列式的性质 西安建大
西安建大 第一节 行列式的定义与性质 问题的引出 n阶行列式的定义 行列式的性质
问题的引出 首先来看行列式概念的形成 问题的提出:求解二、三元线性方程组 引出 二阶、三阶行列式 西安建大
西安建大 首先来看行列式概念的形成 问题的提出： 求解二、三元线性方程组 二阶、三阶行列式 引出 一 .问题的引出
1.二阶行列式回顾高中时的二阶与三阶行列式) 二元线性方程组:a1x,+a1x,=b ax+ax=b 当a1a2-anan≠0时,方程组有唯一解 ba b ab-b.a 21 a( 西安建大
西安建大 1. 二阶行列式 二元线性方程组： + = + = 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 当 a11a22 − a12a21 0 时，方程组有唯一解 （回顾高中时的二阶与三阶行列式） 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a b a a b x − − = 11 22 12 21 11 2 1 21 2 a a a a a b b a x − − =
为便于记忆,引进记号D C12C2 称D aan为二阶行列式也记作d(4) 从而方程组 .a-a, b. 1 b, a 12 有为唯一解 a,a,,-a, a Db ab.-ba a. D bb 西安建大
西安建大 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a b a a b x − − = 2 22 1 1 12 b a b a D = 11 22 12 21 11 2 1 21 2 a a a a a b b a x − − = 21 2 1 11 1 a b a b D = 从而方程组 有为唯一解 称 21 22 11 12 a a a a D = 为二阶行列式 也记作 det( ) A 为便于记忆，引进记号 21 22 11 12 a a a a D = 11 22 12 21 = − a a a a
注 (1)记忆方法:对角线法则 主对角线上两元素之积一副对角线上两元素之积 ( 2)D 为系数矩阵A 上定义的运算。它不同于矩阵A,矩阵是一种形式 二阶行列式算出来是一个数 西安建大
西安建大 注： 上定义的运算。它不同于矩阵 A ，矩阵是一种形式； (1) 记忆方法：对角线法则 主对角线上两元素之积 － 副对角线上两元素之积 (2) 21 22 11 12 a a a a D = 11 12 21 22 a a A a a = 为系数矩阵 二阶行列式算出来是一个数
2.三阶行列式 三阶行列式 C1 ta 32a2 33 注 (1)这是把三阶行列式转化为比它低一阶的二阶行 列式进行的计算。三阶行列式算出来也是一个数 (2)三阶行列式也是矩阵上定义的一种运算 西安建大
西安建大 2. 三阶行列式 三阶行列式 注： （1）这是把三阶行列式转化为比它低一阶的二阶行 列式进行的计算。三阶行列式 算出来也是一个数。 （2）三阶行列式也是矩阵上定义的一种运算。 21 2 1 2 23 31 1 12 1 32 33 3 a a a a a a a a a 22 23 21 23 21 22 32 33 31 33 11 12 13 31 32 a a a a a a a a a a a a a a a = − +
n阶行列式的定义 当时,de(A)=|a 当为大于的整数时,阶矩阵的行列式定义为 12 12 72 n +… +17 仍然记作det(A) 西安建大
西安建大 二. n阶行列式的定义 当 n =1 时， 11 11 det( ) A a a = = 当 n 为大于1的整数时， n 阶矩阵的行列式定义为 仍然记作 det( ) A = 1 22 23 2 22 23 2 2 3 1 11 12 2 3 21 22 2, 1 1 2 , 1 ( 1) n n n n n n n nn nn n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − + − + + − − 21 22 12 1 2 1 2 11 n n n n nn a a a a a a a a a
:在n阶行列式中,把元素an所在的第i行和 第j列划去后,余下的n-1阶行列式叫做元素a 的余子式,记为M 称A2=(-1)M为元素的代数余子式。 14 例如:D= M 23 31 34 41 44 41 43a (-1) 西安建大
西安建大 定义： 在 n 阶行列式中，把元素 ij a 所在的第 i 行和 第 j 列划去后，余下的 n－1 阶行列式叫做元素 ij a 的 余子式, 称 ( ) ij i j Aij M + = − 1 为元素 ij a 的代数余子式。 41 42 44 31 32 34 11 12 14 23 a a a a a a a a a M = ( ) 23 2 3 A23 1 M + = − . = −M23 例如： 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = 记为 Mij
再如 2 D 21 23 ( 注:行列式的每个元素都分别对应着一个和 个 西安建大
西安建大 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = 41 43 44 31 33 34 21 23 24 12 a a a a a a a a a M = ( ) 12 1 2 A12 1 M + = − = −M12 31 32 33 21 22 23 11 12 13 44 a a a a a a a a a M = ( ) 44 44 4 4 A44 = − 1 M = M + 注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和 一个 代数余子式。 再如