§8.5曲面及其方程 曲面方程的概念 旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面 (教材§83)
四、二次曲面 §8.5 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 （教材§8.3）
曲面方程的概念 以M(x,y,)为球心,R为半径的球面方程为 (x-x)2+(y-y0)+(3-)2=R 元一次方程均表示平面: Ax +By+Cz+D=0 直线均由两个三元一次方程方程给出 ∫4x+By+Cx+D1=0 x+B2y+C23+D2=0 般地 方程表示的图形为曲面 FO )=0 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 一、曲面方程的概念 ( , , ) 0 0 0 0 以 M x y z 为球心，R为半径的球面方程为： 三元一次方程均表示平面： 直线均由两个三元一次方程方程给出： 一般地，一个方程表示的图形为曲面： F( x, y, z ) = 0
定义1如果曲面S与方程xyz)=0有下述关系 (1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程 (2)坐标满足此方程的点都在曲面S上 则F(xyz)=0叫做曲面S的方程, F(x,y,=)=0 曲面S叫做方程F(x,yz)=0的图形 两个基本问题: (1)已知一曲面作为点的几何轨迹时 求曲面方程 (2)已知方程时,研究它所表示的几何形状 (必要时需作图) 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 定义1 F(x, y,z) = 0 S z y x o 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, (2) 坐标满足此方程的点都在曲面 S 上. 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 )
例1求到两定点4(132,3)和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程 解设轨迹上的动点为M(x,y,2),则AM=BM即 +(y-2)2+(2-32=(x-2+(y+12+(=-42 化简得2x-6y+2z-7=0 例2研究方程 2+z2-2x+4y= 0 表示怎样的曲面 解配方得(x-1)2+(y+2)2+z2=5 此方程表示球心为M0(1,-2,0),半径为5的球面 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 例1 求到两定点 A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 2 2 2 (x −1) + (y − 2) + (z − 3) 化简得 2x − 6y + 2z − 7 = 0 即 2 2 2 = (x − 2) + ( y +1) + (z − 4) 解 设轨迹上的动点为 M (x, y,z), 则 AM = BM , 轨迹方程. 例2 研究方程 解 配方得 此方程表示: M0 (1,− 2, 0), 5 表示怎样 的曲面. 球心为 半径为 的球面
二、旋转曲面 定义2一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转 周所形成的曲面叫旋转曲面.该定直线称为旋转轴 例如 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 定义2 二、旋转曲面 一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转 一周所形成的曲面叫旋转曲面. 该定直线称为旋转轴 . 例如 :
方程的建立给定v0z面上曲线C:f(y2z)=0 求C绕κ轴旋转所成曲面的方程. 若点M1(0,y1,=1)∈C,则有 f(y12=1)=0 当绕=轴旋转时,该点转到 M1(02y121) M(x,y2),则有 +y=y 故旋转曲面方程为 f(±x2+y2,)=0 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 方程的建立 故旋转曲面方程为 M (x, y,z) , 当绕 z 轴旋转时, f (y1 ,z1 ) = 0 (0, , ) , 若点 M1 y1 z1 C 给定yoz 面上曲线 C ： (0, , ) 1 1 1 M y z M (x, y,z) 1 2 2 1 z = z , x + y = y 则有 ( , ) 0 2 2 f x + y z = 则有 该点转到 f (y,z) = 0 o z y x C 求 C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程
三、柱面 例分析方程x2+y2=R 表示怎样的曲面 解在xoy面上,x2+y2=R2表示圆C, 在圆C上任取一点M1(x,y0),过此点作x 平行z轴的直线l,对任意z,点M(x,y,z) 的坐标也满足方程x2+y2=R2 沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆 柱面.其上所有点的坐标都满足此方程,故在空间 x2+y2=R2表示圆柱面 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） x y 三、柱面 z 例 分析方程 表示怎样的曲面 . 的坐标也满足方程 解 在 xoy 面上， 表示圆C, 2 2 2 x + y = R 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆 故在空间 2 2 2 x + y = R 过此点作 柱面. 平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 表示圆柱面 C o 在圆C上任取一点 ( , ,0), 1 M x y l M M1 点M (x, y,z) 其上所有点的坐标都满足此方程
定义3.平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成 的轨迹叫做柱面.C叫做准线,l叫做母线 y2=2表示抛物柱面 母线平行于z轴 准线为xoy面上的抛物线 x+y=1表示母线平行于 z轴的椭圆柱面N x-y=0表示母线平行于 轴的平面 (且z轴在平面上)x 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） x y z x y z o 定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. 表示抛物柱面, 母线平行于 z 轴; 准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面. 1 2 2 2 2 + = b y a x z 轴的平面. x − y = 0 表示母线平行于 C (且 z 轴在平面上) 表示母线平行于 C 叫做准线, l 叫做母线. x y z o o
四、二次曲面 元二次方程(二次项系数不全为0) Ax+By+Cz+Dxy+ Eyx+ Fix+Gx+ Hy+12+J=0 的图形通常为二次曲面 其基本类型有 锥面、椭球面、双曲面、抛物面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程 研究二次曲面特性的基本方法:截痕法 下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍 高等数学(ZYH) △
高等数学（ZYH） 四、二次曲面 三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程 下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本类型有: 锥面、椭球面、双曲面、抛物面 的图形通常为二次曲面. Ax + By +Cz + Dxy + Eyx + Fzx 2 2 2 + Gx + Hy + Iz + J = 0 (二次项系数不全为 0 )
