§124一阶线性微分方程 阶线性微分方程 二、伯努利方程
§12.4 一阶线性微分方程 一、一阶线性微分方程 二、伯努利方程
阶线性微分方程 阶线性微分方程标准形式: d_d +P(xy=o(x) 若Q(x)0,称为齐次方程 若(x)\0,称为非齐次方程 1.解齐次方程 d_dd +P(x)y=0 x y 分离变量 P(r)dx 两边积分得my=-P(x)x+hnC 故通解为 ce jp(xdx 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 若 Q(x) 0, ( ) 0 d d + P x y = x y 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 ln y = − P(x)dx + ln C 故通解为 P x x y Ce − ( )d = 称为齐次方程 ;
2.解非齐次方程 d_d +P(x)y=2(x) 用常数变易法作变换yx)=u(x)e-r(xdx,则 P(xdx PUxue f P(x)dx Pee P(x)dx Q(x) d P(x)dx 即 o(r)e dx 两端积分得l=」c(x)hodx+c 故原方程的通解y=eJPx)dx Q(xe P(x)dx dx +c 即y=Ca∫P(x)x+px0jo(xewx 齐次方程通解 非齐次方程特解 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 对应齐次方程通解 P x x y Ce − ( )d = 齐次方程通解 非齐次方程特解 − P x x Ce ( )d 2. 解非齐次方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 用常数变易法: ( ) ( ) , − ( )d = P x x y x u x e 则 − P x x u e ( )d + P(x) − P x x u e ( )d = Q(x) 故原方程的通解 e Q x e x P x x P x x ( ) d ( )d ( )d − + = + − y e Q x e x C P x x P x x ( ) d ( )d ( )d 即 y = 即 作变换 − − P x x P x u e ( )d ( ) u Q x e x C P x x = + ( ) d ( )d 两端积分得
dv 2 例1.解方程 (x+1) dx x+1 dy 2 dy 2dx 解:先解 0,即 dx x+1 x+1 积分得ny|=2hnx+1+lnC,即y=C(x+1)2 用常数变易法求特解令y=(x)(x+1)2,则 y=n·(x+1)2 1)2+2·(x+1) 代入非齐次方程得l′=(x+1)2 解得 (x+1)2+C 故原方程通解为y=(x+12(x+1)2+C 3 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 例1. 解方程 解: 先解 0 , 1 2 d d = + − x y x y 即 1 d 2d + = x x y y 积分得 即 2 y = C(x +1) 用常数变易法求特解. 令 ( ) ( 1) , 2 y = u x x + 则 ( 1) 2 ( 1) 2 y = u x + + u x + 代入非齐次方程得 解得 u = x + 2 +C 3 ( 1) 3 2 故原方程通解为
dx 例2.求方程 X + 3/0y=0的通解 解:注意x,y同号,当x>0时,=2dx,故方程可 d/x√x2 X 变形为dy~这是以为因变量为 自变量的一阶线性方程 由一阶线性方程通解公式,得 d d e2[∫ e 2ydx+In C √y[∫ Vy ly dy+In Cll-vInC 1 所求通解为ye=C(C≠0 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 例2. 求方程 的通解 . 解: 注意 x, y 同号, 2d , d 0 , x x x 当x 时 = y P y 2 1 ( ) = − y Q y 1 ( ) = − 由一阶线性方程通解公式 , 得 x = e e y 1 − 故方程可 变形为 d 0 d 2 3 = − + y y x x y y x − y 1 dy + ln C 所求通解为 y e = C (C 0) y x 这是以 x 为因变量, y为 自变量的一阶线性方程