§8.4空间直线及其方程 空间直线方程 二、线面间的位置关系 (教材§86)
§8.4 空间直线及其方程 一、空间直线方程 二、线面间的位置关系 （教材§8.6）
空间直线方程 1.一般式方程 直线可视为两平面交线,因此其一般式方程 A1x+B1y+C12+D1=0 Ax+ B2y+C22+D2=0 不唯)z=(m2n,p) 2对称式方程 若已知直线上一点M(x0)mM(% 和其方向向量z=(m,n,p)则 MM∥2 故有=y10=50(也叫点向式方程 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 一、空间直线方程 x y z o 0 A1 x + B1 y +C1 z + D1 = 1 2 L 因此其一般式方程 1. 一般式方程 直线可视为两平面交线， (不唯一) 0 0 0 0 M x y z ( , , ) M x y z ( , , ) = ( , , ) m n p 2. 对称式方程 ,则 若已知直线上一点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 和其方向向量 = ( , , ) m n p 0 M M // 故有 m x x − 0 n y y − 0 = p z z − 0 = (也叫点向式方程)
说明:某些分母为零时,其分子也理解为零 例如当m=n=0,p≠0时直线方程为x=30 y=yO 例1求过点(1,-2,4)且与平面2x-3y+z-4=0 垂直的直线方程 解取已知平面的法向量 n=(2,-3,1)为所求直线的方向 向量.则直线的对称式方程为 x-1y+2 4 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 某些分母为零时, 其分子也理解为零. = = 0 0 y y 直线方程为 x x 例如, 当 m = n = 0, p 0 时, 说明: 解 取已知平面的法向量 1 2 − 4 = + = x − y z 向量. 则直线的对称式方程为 垂直的直线方程. 为所求直线的方向 2 − 3 1 n = (2, −3,1) n 例1 求过点(1,－2 , 4) 且与平面
3.参数式方程 在对称式方程中令比值为t,即 x-xo y-y X=x 0 + mt 得参数式方程:y=yo+nt o+ pt 或:(x,y,z)=( )+(m,n,p) 解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量 即可写出直线的对称式方程和参数式方程 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 3. 参数式方程 在对称式方程中令比值为t , 即 得参数式方程 : t p z z n y y m x x = − = − = − 0 0 0 x = x + mt 0 y = y + nt 0 z = z + pt 0 解题思路: 先找直线上一点;再找直线的方向向量. 即可写出直线的对称式方程和参数式方程. 0 0 0 或 : ( , , ) ( , , ) ( , , ) x y z x y z m n p t = +
例2用对称式及参数式表示直线 x+y+z+1=0 12x-y+3z+4=0 解先在直线上找一点如令y=0,得点(1,0,-2) i jk n1×n2 (4,-1,-3) 2-13 故所给直线的对称式方程为 x-1 y z+2 x=1+4t 参数式方程为 z=-2-3t 高等数学(ZYH) 因宮可
高等数学（ZYH） 例2 解 先在直线上找一点.如令 y = 0 故所给直线的对称式方程为 = t 4 x −1 −1 = y = (4,−1,−3) n n 1 2 = 2 1 3 1 1 1 − = i j k 参数式方程为 用对称式及参数式表示直线
二、线面间的位置关系 1.两直线的夹角 其夹角指其方向向量的夹角(取锐角) 设直线LL的方向向量分别为 z1=(m1,n1,n1),z2=(m2,H2,P2) 则cosq=cos(t1,22)= ·|E2 特别(1)⊥L2⊥z2→m1m2+n1n2+p1P2=0 (2)L1∥L2∥z2→ n p 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） L2 L1 二、线面间的位置关系 则 1 2 设直线 L , L 其夹角 指其方向向量的夹角(取锐角) 的方向向量分别为 1 2 1 2 1 2 | | cos | cos( , ) | | | | | = = 1 2 1. 两直线的夹角 特别 1 2 (1) L ⊥ L 1 2 (2) L // L m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0 2 1 2 1 2 1 p p n n m m = = 1 2 ⊥ 1 2 //
2直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时,直线与其在平面上投影直线 所夹锐角称为直线与平面间的夹角重直时夹角为x/2 设直线L的方向向量为z=(m,n,p) L 平面的法向量为n=(A,B,C) 则直线与平面夹角满足 sin= cos(t, n)= z|·|n 特别:(1)L⊥∏<z∥n AB C (2)Lm∏z⊥nAm+Bn+Cp=0 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;垂直时夹角为 L 2. 直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时, 设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为 则直线与平面夹角 满足 直线与其在平面上投影直线 = ( , , ) m n p n = (A,B,C) sin | cos( , ) | = n | | | | | | n n = n 特别: (1) L⊥ (2) L// Am + Bn +C p = 0 p C n B m A // n = = ⊥ n
