§8.1向量及其线性运算 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
§8.1 向量及其线性运算 四、利用坐标作向量的线性运算 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 五、向量的模、方向角、投影
向量的概念 向量(矢量):既有大小又有方向的量.如力位移等 常记作:F,AB,a,b等,或用黑体表示 向量的模:向量的大小常记作:|FABa,b等 向径(矢径):起点为原点的向量常记作:F=OM等 自由向量简称向量:与起点无关的向量 单位向量:模为1的向量,记作a B 零向量:模为0的向量,记作0 负向量:与a模相同,方向相反的向量,记作a 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 常记作: 向量的模 : 向量的大小,常记作: 一、向量的概念 向量(矢量)： A B 既有大小 又有方向的量. 如力,位移等 向径 (矢径): 自由向量(简称向量): 与起点无关的向量. 起点为原点的向量.常记作: 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量, 负向量：与a 模相同, 方向相反的向量，记作-a
向量间的关系: 若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等, 记作a=b; 着向量a与b方向相同或相反则称a与b平行记作 a∥b;规定:零向量与任何向量平行; 因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称 两向量共线 若kC≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k 个向量共面 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 规定: 零向量与任何向量平行 ; 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, a∥b ; 记作 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 . 向量间的关系：
二、向量的线性运算 1.向量的加法 +b 平行四边形法则:b (a+6)+c (平行时不可用) +(b+ a+6 三角形法则 atb b (平行时可用) 运算规律:交换律a+b=b+d(由平行四边形法则知) 结合律(a+b)+C=d+(b+c)=d+b+C (其证明如右上图) 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 二、向量的线性运算 1. 向量的加法 三角形法则: 平行四边形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 b b a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c )= a + b + c a b c a + b b + c a + (b + c ) (a + b) + c a a a + b a + b （平行时可用） （平行时不可用） （由平行四边形法则知） （其证明如右上图）
空间直角坐标系 1.空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点O由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系 zz轴竖轴) 坐标原点 Ⅱ 坐标轴 yoz 面 坐标面 10x 卦限(八个) orov Ⅶ y轴(纵轴) x轴(横轴) V 高等数学(ZYH) 因宮可
高等数学（ZYH） Ⅶ Ⅱ Ⅲ Ⅵ x y z Ⅴ Ⅷ Ⅳ 三、空间直角坐标系 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. • 坐标原点 • 坐标轴 x轴(横轴) y轴(纵轴) z 轴(竖轴) 过空间一定点 O , o • 坐标面 • 卦限(八个) xoy面 yoz面 1. 空间直角坐标系的基本概念 Ⅰ
2.向量的坐标表示 在空间直角坐标系下,任意向量可用向径OM表示 以i,,k分别表示x,y,z轴上的单位向量,设点M 的坐标为M(x,y,z),则 OM=ON +MM=OA+ob+oc M B OA=xi, OB=yj, OC=zk F=xi+y7+zk(,j,k分解式)x N (x,y2)(坐标表示式) xi,yj,z称为向量F沿三个坐标轴方向的分向量 高等数学(ZYH) △
高等数学（ZYH） 2. 向量的坐标表示 在空间直角坐标系下, 设点 M M (x, y ,z), 则 沿三个坐标轴方向的分向量. r x i y j z k = + + = (x, y ,z) x o y z M N B C i j k A 以 i , j , k 分别表示 x, y ,z轴上的单位向量 , 的坐标为 r 任意向量 r 可用向径 OM 表示. OM = ON + NM = OA + OB + OC （坐标表示式） （i j k 分解式） ,
四、利用坐标作向量的线性运算 设a=(ax2ay,a2)b=(b,by,b2),为实数,则 d±b=(ax±bxa1±b,,a2+b2) 为i,j,k na=carma,na) 分解式即知 平行向量对应坐标成比例: 当d≠0时 b=na b/—b= b=na b. 6, b b=n 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 四、利用坐标作向量的线性运算 设 ( , , ), x y z a = a a a ( , , ), b = bx by bz 则 a b = ( , , ) x x y y z z a b a b a b a = ( , , ) x y z a a a 当 0 时, a bx = ax y y b = a bz = az = x x a b = y y a b z z a b 平行向量对应坐标成比例: 为实数， 化为i j k , , 分解式即知
例2已知两点(x1,y1,21),B(x2,y2=2)及实数≠-1, 在AB直线上求一点M,使AM=MB A 解:设M的坐标为(x,y,z),如图所示 M AM=2 MB B A AM=OM-OA MB=OB-OM OM-OA=n(OB-OM B 得OM=+4(O4+OB) M 即(x,y,2)21+21+2,+2,21+1z2) 得定比分点公式:x=x+y,y21+2,Z=1 V1+Ay 1+ 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 例2. 已知两点 在 AB 直线上求一点 M , 使 解: 设 M 的坐标为 如图所示 A B M o 1+ 1 M A B 及实数 −1, 得 1+ 1 ( , , ) 1 2 1 2 1 2 即 x + x y + y z + z AM = MB AM = OM −OA MB = OB −OM OM − OA = (OB −OM ) OM = (OA + OB ) , 1 1 2 + x + x , 1 1 2 + y + y + + 1 1 2 z z 得定比分点公式: