§12.1微分方程的基本概念 几何问题 引例 物理问题 微分方程的基本概念
§12.1 微分方程的基本概念 微分方程的基本概念 引例 几何问题 物理问题
引例1一曲线通过点(1,2)在该曲线上任意点处的 切线斜率为2x,求该曲线的方程 解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式 dy=2x d yx=1=2 由①得y=2dx=x2+C(C为任意常数) 由②得C=1,因此所求曲线方程为y=x2+1 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 引例1 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式: x x y 2 d d = ① (C为任意常数) 由 ② 得 C = 1, 1. 2 因此所求曲线方程为 y = x + 2 y x=1= ② 由 ① 得 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程
引例2列车在平直路上以20m的速度行驶制动时 获得加速度a=-04m/s2,求制动后列车的运动规律 解:设列车在制动后t秒行驶了s米,即求s=s() 0.4 已知 dt 0=0d 20 dtt=0 由前一式两次积分,可得s=-0.2t2+C1t+C2 利用后两式可得 C1=20, 0 因此所求运动规律为S=-0.2t2+20t 说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住,以及制动后行驶了多少路程 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 引例2 的速度行驶, 制动时 获得加速度 求制动后列车的运动规律. 解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 已知 0 , s t=0 = 由前一式两次积分, 可得 1 2 2 s = − 0.2t +C t +C 利用后两式可得 因此所求运动规律为 s 0.2 t 20 t 2 = − + 说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t) . 列车在平直路上以
微分方程的基本概念 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 常微分方程(本章内容) 分类 偏微分方程 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶 一般地,n阶常微分方程的形式是 F(x,y,y,…,P )=0 或 f(x,y,y2…,ym-)(n阶显式微分方程) 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 常微分方程 偏微分方程 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 (本章内容) ( , , , , ) 0 ( ) = n F x y y y ( , , , , ) ( ) ( −1) = n n y f x y y y ( n 阶显式微分方程) 微分方程的基本概念 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 的阶. 分类 或
微分方程的解一使方程成为恒等式的函数. 通解一解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同 特解一不含任意常数的解,其图形称为积分曲线 定解条件—确定通解中任意常数的条件 n阶方程的初始条件(或初值条件) y(x0)=y0,y(x0)=y (n-1) (n-1) dy 引例1{ax yx=1=2引例2a2=-04 d =0=0d1t=0=20 通解:y=x2+C S=-0.212+C1t+C2 特解 y=x-+1 s=-0.2t2+20t 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 0 , s t=0 = 20 d 0 d = t t= 引例 s 2 0.4 2 2 d d = − x y — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 ( 1) 0 0 ( 1) 0 0 0 0 ( ) , ( ) , , ( ) − − = = = n n y x y y x y y x y — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件): 的阶数相同. 特解 x x y 2 d d = 2 y x=1= 引例1 y = x +C 2 1 2 2 通解: s = −0.2t +C t +C s 0.2t 20t 2 1 = − + 2 特解: y = x + 微分方程的解 — 不含任意常数的解, 定解条件 其图形称为积分曲线
例1.验证函数x=C1 cost+C2 sin kt(C1,C2为常数) 是微分方程x+k2x=0的解,并求满足初始条件 d, A 0的特解 t t=0 d=x 解 1(nh3 cos kt -cak sin kt d k(ci sin kt+C2 cos kt )=kix 这说明x=C1 cos kt+C2 sin kt是方程的解 C1,C2是两个独立的任意常数,故它是方程的通解 利用初始条件易得:C1=A,C2=0,故所求特解为 x=Acos kt 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 例1. 验证函数 是微分方程 的解, , x t=0 = A 0 d 0 d = t t = x 的特解 . 解: ( sin cos ) 1 2 2 = −k C kt +C kt 这说明 x C cos kt C sin kt = 1 + 2 是方程的解 . 是两个独立的任意常数, ( , ) C1 C2为常数 利用初始条件易得: 故所求特解为 x = Acos k t 故它是方程的通解. 并求满足初始条件
例2.已知曲线上点P(xX,y处的法线与ⅹ轴交点为Q 目线段PQ被y轴平分,求所满足的微分方程 解:如图所示点P(x,y)处的法线方程为 Y-y (X-x) y 令Y=0,得Q点的横坐标 P X=x+yy x+yy=-x,即yy+2x=0 r x 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 求所满足的微分方程 . 例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q P Q x y o x 解: 如图所示, 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标 即 yy + 2x = 0 点 P(x, y) 处的法线方程为 且线段 PQ 被 y 轴平分
