§11.1第二类曲线积分 第二类曲线积分的定义 二、第二类曲线积分的性质 三、第二类曲线积分的计算
§11.1 第二类曲线积分 一、第二类曲线积分的定义 二、第二类曲线积分的性质 三、第二类曲线积分的计算
第二类曲线积分的定义 引例求力F(x,y,z)={P(x,y,),Q(x,y,z),R(x,y,)} 把质点沿有向光滑曲线/从A点移到B点所作的功W 1)分割:分「为n段As12AS2,…4Sn F(54,7h25k) 2)近似:任取(5k,7k25k)∈ASk 则板≈F(5k,7,9)AF B 3)求和:W=∑AWk≈∑F(5,m5k) 4)取极限W=m∑F(5,5)·其中=mx{4s} 今P(2分)A+5)41y1+R(5,5)1小 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） k s n s 1 s 一、第二类曲线积分的定义 1) 分割： 分Г 为 n 段 n s ,s , , s 1 2 2) 近似： 任取 k k k k ( , , )s 3) 求和： = n k k k k k F r 1 ( , , ) 4) 取极限： k k n s = 1 其中 max = → = n k k k k k W F r 1 0 lim ( , , ) ( , , ) F k k k 引例 求力 F(x, y,z) = {P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z)} 把质点沿有向光滑曲线Γ从 A点移到 B点所作的功W. k r k r k−1 r O = → = + + n k k k k k k k k k k k k k P x Q y R z 1 0 lim ( , , ) ( , , ) ( , , ) F A B
同前一样,我们把上述特定和的极限写成积分,就是 第二类对坐标的空间曲线积分 im∑F(5k,m5).在记作〔F(x,y,=)dF(向量形式 lim 2IP(Sk, k, 5k)4x+@(5k, k, Sk )4y+R(Sk,k, 5k)42x] A→ 记作[P(x-dx+Q(x,y,)dy+R(xy2)d=(分量形式) 其中m∑P(5,15)Ax=P(xy,)dx(对坐标的曲线积分) 去掉第三分量就是第二类(对坐标的)平面曲线积分 mn∑,么)41x+0(5,记作(P(xyd dx+o(x, y)d 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 第二类(对坐标的)空间曲线积分 = → n k k k k k F r 1 0 lim ( , , ) 同前一样, 我们把上述特定和的极限写成积分，就是 = → + + n k k k k k k k k k k k k k P x Q y R z 1 0 lim ( , , ) ( , , ) ( , , ) F x y z r ( , , ) d + + P(x, y,z)d x Q(x, y,z)d y R(x, y,z)d z （分量形式） （向量形式） = P(x, y,z)d x 去掉第三分量就是第二类(对坐标的)平面曲线积分 （对坐标x 的曲线积分） = → n k k k k k P x 1 0 lim ( , , ) 其中 = → + n k k k k k k k P x Q y 1 0 lim ( , ) ( , ) + P(x, y)d x Q(x, y)d y 记作 记作 记作
第二类曲线积分的性质 1.积分的存在性 有界闭曲线上的(分段)连续函数必可积(积分存在) 2.线性性质 ∫F(x)+kG(X)d7=k」F(x)dF+k∫G(x)dF 3.对区域的可加性 ∫F(x)dF=∫F(x)dF+∫F(x)dF 4.反方向性 「F(x)dF=「F(x)dF(厂表示r的反向弧) 5.物理意义 当F(x)为力时代表沿/的所做的功:丌=f(x)dF 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 二、第二类曲线积分的性质 5. 物理意义 3. 对区域的可加性 当 为力时代表沿Γ 的所做的功： 4. 反方向性 2. 线性性质 1. 积分的存在性 有界闭曲线上的 (分段) 连续函数必可积 (积分存在)