西安建筑科技大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）习题课——第九章 重积分

重积分

第九章 重积分 返回

习题课结构 重点难点 王工 内容提 练 典型例题 题 练习题解答 高等数学,( XAUAT) ▲Nu

高等数学（XAUAT） 典型例题 重点难点 内 容 提 要 练习题解答 习题课结构 练 习 题

一、本章的重点、难点、此次 习题课达到的目的 重点:二重积分、三重积分的计算。 王工 难点:二从重积分、三重积分计算中坐标系的选择,积 分 次序的选择与定限 习题课达到的目的:熟练掌握二重积分的计算(直角坐标、 极坐标),掌握三重积分的计算方法(直角坐标、 柱面坐标、球面坐标)。 高等数学,( XAUAT) ▲Nu

高等数学（XAUAT） 一、本章的重点、难点、此次 习题课达到的目的 重点：二重积分、三重积分的计算。 难点：二从重积分、三重积分计算中坐标系的选择，积 分 次序的选择与定限 习题课达到的目的：熟练掌握二重积分的计算（直角坐标、 极坐标），掌握三重积分的计算方法（直角坐标、 柱面坐标、球面坐标）

二、内容提要 1.二重积分 (1).二重积分的几何意义:当(x,y)≥0时, ∫D(x)do的几何意义是以积分区域D为底以 z=f(x,y)为顶的曲柱体的体积 (2).二重积分的性质 王“m)+((x)ma()y 2若D=D∪D,且D与D2处公共边界外,再无公共区域 则(:1()+(y D D 高等数学,( XAUAT) ▲Nu

高等数学（XAUAT） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 1 2 1 2 , , , , 2 , , , D D D D D D kf x y l g x y d k f x y d l g x y d D D D D D f x y d f x y d f x y d           =    = = +       0 1 若 ，且 与 处公共边界外，再无公共区 （2）. 域 二重积分的性质 则 D D2 D1 1. 二重积分 ( ) ( ) ( ) , 0 , , D f x y f x y d D z f x y   =  当 时， 的几何 （1）.二重积分 意义是以积分 的几何意义： 区域 为底，以 为顶的曲柱体的体积 二、内容提要

391d=Jl=aa为积分域D面积 4若在D上∫(x,y)≤g(x,y)则有: 』(xy1sa() 王别何(3)( 50设M,m分别是f(xy)在闭区域D上的最大值和最小值, σ是D的面积,则有:ms(x,y) do < Mo 6设函数f(xy)在闭区域D上连续,σ是D的面积,则在D 内至少存在一点(m),使/(x=(m 高等数学,( XAUAT) ▲Nu

高等数学（XAUAT） ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , , 6 , D f x y D D f x y d f D       =   设函数 在闭区域 上连续， 是 的面积，则在 内至少存在一点 ，使： 0 3 1 . D D  = = d d D       为积分域 的面积 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , 4 , , , , , D D D D D f x y g x y f x y d g x y d f x y d f x y d            若在 上 则有: 特别有： ( ) ( ) 0 5 , , , D M m f x y D  D m f y       x d M 设 分别是 在闭区域 上的最大值和最小值， 是 的面积，则有：

上(3)二重积分的计算 1°利用直角坐标计算二重积分 (a)设/(x,y)在矩形区域D={(x,) asxsb,csy≤l} 上可积,则 ∫J(xy)da=JaJ(xy)于JdJ(xy) D 生(7()在区域D=(945y( 王上可积则/(y)和=/(x 王(()型区城0(5) 上可积,则(x,y)do=「 d∫ rv2(y) f(, y)dx WI 高等数学,( XAUAT) ▲Nu

高等数学（XAUAT） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 ( ) ( ) , , , , , b x a x D b f x y D x y a x b x y x f x y d dx f x y dy      =     =    设 在X-型区域 上可积,则: 1 .o 利用直角坐标计算二重积分 （3 . ）二重积分的计算 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 1 2 , , , , , d y c y D c f x y D x y c y d y x y f x y d dy f x y dx      =     =    设 在y-型区域 上可积,则: ( ) ( ) ( )  ( ) ( ) ( ) , , , , , , b d d b a c c a D a f x y D x y a x b c y d f x y d dx f x y dy dy f x y dx  =     = =      设 在矩形区域 上可积,则:

王2利用极坐标计算 当被积函数含有(x2+y2)或积分域为园域、部分园域时考虑 上用极坐标计算 (a)区域D包围极点/(xBe=(ossr B (b)区域D不包围极点,D:(,0)a≤6≤B,1(0)sysy2(0) 牛(x如- o)/(cose, y sine).-ydy 中(4.二重积分的应用 1曲面面积的计算 设,曲面S:=f(x,y)(x,y)∈D3,D3为曲面S在xop面上的投影区域 高等数学,( XAUAT) ▲Nu

高等数学（XAUAT） oD ( )    1 ( ) o    2 ( )  0 2 利用极坐标计算 2 2 当被积函数含有( ) x y + 或积分域为园域、部分园域时考虑 用极坐标计算 ( ) ( ) 2 ( ) 0 0 , cos , sin D f x y d d f d            =     ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 , cos , sin D f x y d d f d               =     (4). 二重积分的应用 : 0 1曲面面积的计算 : , , , , ( ) ( ) xy xy 设，曲面S z f x y x y D D S xoy =  为曲面 在 面上的投影区域 （a）区域D包围极点, (b) 区域D不包围极点,D :{ , , } (          )     1 2 ( ) ( )

Dz a Ox Oy 在D3上连续。则曲面S的面积 A=1+ Dxy 类似:曲面x=x(y,2)、y=y(x,2)的面积分别为 A= 公/h和A=/+ dxdz x 2物理上的几种应用 中(a)设(xy)为平面薄片D在点(xy)的面密度,则有 平面薄片质量M=p(x,ykoy平面薄片的重心 D 高等数学,( XAUAT) ▲Nu

高等数学（XAUAT） 0 2 .物理上的几种应用 (a)设 ( x y D x y , , )为平面薄片 在点( )的面密度，则有 ( , ) D M x y dxoy =  平面薄片质量  平面薄片的重心 2 2 , 1 Dxy xy z z A d z z D x x y x y y d      = + +               在 上连续。则曲面S的面积 ( ) ( ) 2 2 2 2 , , 1 1 Dyz Dxz x x y z y y x z x x y y A dydz A dxdz y z x z = =             = + + = + +                       类似：曲面 、 的面积分别为 和

[xp(x,y)do yp(x, y)do lp(r, y)do plr, y)do (b)引力 D D 设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域D, 在点(x,y)处的面密度为P(x,y),假定p(x,y)在 cD上连续,计算该平面薄片对位于z轴上的点 M0(0,0,a)处的单位质点的引力.(a>0) 薄片对3轴上单位质点的引力F={Fx,F,F2}, p(x,y) p(x, y)y e ty+a2 do, f= b(r +y+aado, P(x,y) z-a B(x+y2+a do.∫为引力常数 高等数学,( XAUAT) ▲Nu

高等数学（XAUAT） 薄片对 z 轴上单位质点的引力 设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D， 在点(x, y)处的面密度为(x, y)，假定(x, y)在 D上连续，计算该平面薄片对位于z 轴上的点 (0,0, ) M0 a 处的单位质点的引力．(a  0) { , , }, F = Fx Fy Fz , ( ) ( , ) 2 3 2 2 2   d x y a x y x F f D x  + + = , ( ) ( , ) 2 3 2 2 2   d x y a x y y F f D y  + + = . ( ) ( , ) 2 3 2 2 2   d x y a x y F af D z  + + = − f 为引力常数 (b) 引力 ( , ) ( , ) D D y x y d y x y d     =   ( , ) ( , ) D D x x y d x x y d     =  

()转动惯量 平面薄片关于x轴、y)轴、坐标圆点的转动轴惯量分别为I,l2,l3 王1=4()中(=12)分别为点(到抽 y轴及坐标原点的距离 A2.三重积分 (1).三重积分的性质 三重积分具有与二重积分类似的性质 (2).三重积分的计算 1°利用直角坐标计算 设f(x,y,-)在g上连续g由2=21(x,y),=2(x,y) (=1(xy)≤=2(xy)及母线平行于z轴的柱面围成 高等数学,( XAUAT) ▲Nu

高等数学（XAUAT） ( ) ( ) ( ) 2 2 3 , 1,2,3 , k k k D x y I I I d x y d k x y y =  d = x  1 (c) 转动惯量 平面薄片关于 轴、 轴、坐标圆点的转动轴惯量分别为I， ， 其中 分别为点 到 轴， 轴及坐标原点的距离 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) 1 2 1 2 , , , , , , , , f x y z z z x y z z x y z x y z x y z   = =  o 1 利用直角坐标计算 设 在 上连续 由 及母线平行于 轴的柱面围成. 2. 三重积分 三重积分具有与二重积分类似的性质 （1）.三重积分的性质 （2）.三重积分的计算