话说微积分 制作人:项晶菁
话说微积分 制作人：项晶菁
数学的核心领域是: 代数学——研究数的理论; 几何学—研究形的理论; 分析学—沟通形与数且涉及极限运算的 部分
数学的核心领域是： • 代数学——研究数的理论； • 几何学——研究形的理论； • 分析学——沟通形与数且涉及极限运算的 部分
旧三高(高等分析、高等代数、高等几何) 数学分析权威R柯朗所指出的,“微积分乃 是一种震撼人心灵的智力奋斗的结晶 现代微积分有时作为“数学分析”的同义语, 般来说数学分析包括微积分、函数论(突 变、复变、实变)、微分方程、积分方程、 变分法、泛函分析、非标准分析等。 在古典意义下,微积分是微分学和积分学的 称
• 旧三高(高等分析、高等代数、高等几何) • 数学分析权威R•柯朗所指出的，“微积分乃 是一种震撼人心灵的智力奋斗的结晶” 。 • 现代微积分有时作为“数学分析”的同义语， 一般来说数学分析包括微积分、函数论（突 变、复变、实变）、微分方程、积分方程、 变分法、泛函分析、非标准分析等 。 • 在古典意义下，微积分是微分学和积分学的 合称
1.1微积分的萌芽(15世纪以前) 1.1.1(公元前)东西方 ·1.古代中国 战国时代的《庄子天下篇》中,“一尺之锤,日取其半, 万世不竭。”, “至大无外,谓之大一;至小无内,谓之小一,”--惠施 (约公元前370~公元前310) 《墨经》中不仅对有穷与无穷作了明确的区分,而且也 有丰富的微分思想
1.1微积分的萌芽（15世纪以前） • 1.1.1（公元前）东西方 • 1.古代中国 • 战国时代的《庄子·天下篇》中，“一尺之锤，日取其半， 万世不竭。” ， • “至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一，”--惠施 （约公元前370~公元前310） • 《墨经》中不仅对有穷与无穷作了明确的区分，而且也 有丰富的微分思想
2.古希腊罗马 如何求圆的面积是数学对人类智慧的一次考验,也是极限 诞生的种子。 大约在公元前400年古希腊人提出了三大几何难题,其中 之一是“化圆为方”即指用圆规与无刻度的直尺求与一圆 等面积的正方形。直到19世纪,它才被人们证明它为尺规 作图不能问题。 公元前5世纪的古希腊智者安提丰与布拉森分别用圆的内接 多边形以及外切正多边形的边数不断加倍的办法来接近圆 的面积,他们认为圆的面积可以取作边数不断增加时他的 内接和外切正多边形的面积的平均值
2.古希腊罗马 • 如何求圆的面积是数学对人类智慧的一次考验，也是极限 诞生的种子。 • 大约在公元前400年古希腊人提出了三大几何难题，其中 之一是“化圆为方”即指用圆规与无刻度的直尺求与一圆 等面积的正方形。直到19世纪，它才被人们证明它为尺规 作图不能问题。 • 公元前5世纪的古希腊智者安提丰与布拉森分别用圆的内接 多边形以及外切正多边形的边数不断加倍的办法来接近圆 的面积，他们认为圆的面积可以取作边数不断增加时他的 内接和外切正多边形的面积的平均值
对这一思想做出重大发展的是欧多克斯(公元前408~公 元前355),相应的方法被后人称为“穷竭法”。这一方 法被欧几里得记述在《几何原本》第12章中 阿基米德(公元前287~公元前212)对穷竭法做出了重 要贡献,这位“数学之神”证明了 3<丌<3 70 还算出了球的体积和表面积、抛物线弓形的面积等
• 对这一思想做出重大发展的是欧多克斯（公元前408~公 元前355），相应的方法被后人称为“穷竭法”。这一方 法被欧几里得记述在《几何原本》第12章中。 • 阿基米德（公元前287~公元前212）对穷竭法做出了重 要贡献，这位“数学之神”证明了 70 10 3 71 10 3 • 还算出了球的体积和表面积、抛物线弓形的面积等
1.1.2十五世纪以前的东西方 我国三国时期(公元后3世纪)的数学家刘徽在《九章算术》 的注文中,第一次把《庄子》中的极限思想用于算“圆天” 和“弧天”的面积,创立了一种推求圆周率的方法,即“割 圆术”。 刘徽先在圆内作内接正6边形S,S6的面积不难算出。再 继续算出正12边形,正24边形,。他指出:“割之弥细,所 失弥少。割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失 矣。”这等同于现代微积分中的极限思想。他得出了徽率。 古印度的数学家,对圆却采用了类似切西瓜的方法,把圆切 成许多小瓣,再把这些小瓣对接成一个长方形,用长方形的 面积去代替圆面积
1.1.2 十五世纪以前的东西方 • 我国三国时期（公元后3世纪）的数学家刘徽在《九章算术》 的注文中，第一次把《庄子》中的极限思想用于算“圆天” 和“弧天”的面积，创立了一种推求圆周率的方法，即“割 圆术” 。 • 刘徽先在圆内作内接正6边形S6， S6的面积不难算出。再 继续算出正12边形，正24边形,。他指出：“割之弥细，所 失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失 矣。”这等同于现代微积分中的极限思想。他得出了徽率。 • 古印度的数学家，对圆却采用了类似切西瓜的方法，把圆切 成许多小瓣，再把这些小瓣对接成一个长方形，用长方形的 面积去代替圆面积
1.2微积分的先驱工作(16世纪左右) 1.2.1圆的面积之迷的继续探寻(17世 纪) 1615年出版了《葡萄酒桶的立体几何》 书,书中介绍了一种他独创的求面积 的新方法:把圆分割成许多小扇形,不 同的是他一上来就把圆分成无穷多个小 扇形,因为太小了,所以小扇形又可用 小等腰三角形来代替。 利用阿基米德的“穷竭法”求出387种开普勒(德,1571-1630) 旋转体的体积
1.2微积分的先驱工作（16世纪左右） • 1.2.1圆的面积之迷的继续探寻（17世 纪） 1615年出版了《葡萄酒桶的立体几何》 一书，书中介绍了一种他独创的求面积 的新方法：把圆分割成许多小扇形，不 同的是他一上来就把圆分成无穷多个小 扇形，因为太小了，所以小扇形又可用 小等腰三角形来代替。 利用阿基米德的“穷竭法”求出387种 旋转体的体积。 开普勒(德，1571-1630)
意大利物理学家迦利略的学生卡瓦列里深入研究了上述 求积方法,认为这每一小扇形的面积到底等不等于零, 就不好确定了。他想:开普勒为什么不再继续分下去了 呢?要是真的再细分下去,那分到什么程度为止呢?陷 入深思之中的卡瓦利里从衣服的布和一本书的构造上得 了启示,经过反复琢磨,提出了求面积和体积的新方法 “不可分元法”,并于1635年在意大利出版了《不可 分量几何学》一书
• 意大利物理学家迦利略的学生卡瓦列里深入研究了上述 求积方法，认为这每一小扇形的面积到底等不等于零， 就不好确定了。他想：开普勒为什么不再继续分下去了 呢？要是真的再细分下去，那分到什么程度为止呢？陷 入深思之中的卡瓦利里从衣服的布和一本书的构造上得 了启示，经过反复琢磨，提出了求面积和体积的新方法 “不可分元法”，并于1635年在意大利出版了《不可 分量几何学》一书
1.2.2微分学的先驱工作(17世纪) 微分学主要与以下两个问题相联系: 1求曲线在任意一点的切线; 2.求变量的极值 tangent line secant line P
1.2.2微分学的先驱工作（17世纪） 微分学主要与以下两个问题相联系： 1.求曲线在任意一点的切线； 2.求变量的极值