第三章中值定理与导数 的应用 高等数学(XJD)
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中值定理与导数的应用的结构 洛必达法则 0 0 型 Cauchy 0 令y=f 中值定理 型 型 0 取对数 0 型 F(x)=x 型 g 州| Lagrange/a)= fb rolle导数的应用 中值定理 定理单调性,极值与最值, n=0 凹凸性,拐点,函教 Taylor 常用的图形的描绘; 中值定理 泰勒公式曲率;求根方法 高等数学,( XAUAT)
高等数学（XAUAT） 中值定理与导数的应用的结构 洛必达法则 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 常用的 泰勒公式 0 0 ,1 , 0 型 1 − 2 型 0 型 型 0 0 型 Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 F(x) = x f (a) = f (b) n = 0 g f f g 1 = 1 2 2 1 1 2 1 1 1 − − = 取对数 令 g y = f 单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法. 导数的应用
第三章中值定理与导数的应用 中值定理 2.常用麦克劳林公式 3.洛必达法则 王4函数的单调性、凹凸性、极值与拐点 5.函数图形性质的讨论 6.判定极值的充分条件 7.最值问题 8.典型例题 高等数学,( XAUAT) ▲^
高等数学（XAUAT） 第三章 中值定理与导数的应用 1. 中值定理 2. 常用麦克劳林公式 3. 洛必达法则 4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点 5. 函数图形性质的讨论 6. 判定极值的充分条件 7. 最值问题 8. 典型例题
1.中值定理 罗尔中值定理设(x)在闭区间[ab]上连续,在开区间(a,b)内 可导且f(a)=f(b),那末3∈(a,b),使∫()=0 拉氏中值定理设f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内 可导,那末35∈(ab),使 f(a)-f(b)=∫()(拉氏中值公式 柯西中值定理设f(x),g(x)在闭区间[a,b上连续,在开区间 (a,b)内可导且g"(x)≠:0,那末彐5∈(u,b),使 f(a)-∫(b)f(5) (柯西中值公式) g(a)-g(b)g(2) 泰勒中值定理设八()在含x的某开区间(b内具有(m+1)阶 导数,则当x∈(ab)时,在x与x之间存在5,使 (n) (n+1) f(x)=2 0 C-x n 0 -d (n+1) 高等数学,( XAUAT)
高等数学（XAUAT） 1. 中值定理 泰勒中值定理 设 f(x)在含 x0 的某开区间(a,b)内具有(n +1)阶 导数, 则当 x (a,b) 时，在 x 与 0 x 之间存在 ,使 （柯西中值公式） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' g f g a g b f a f b = − − f (a) − f (b) = f () （拉氏中值公式） 柯西中值定理 设 f(x), g(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间 (a,b)内可导且 g (x)0, 那末 (a,b) ,使 罗尔中值定理 设 f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内 可导且 f(a)= f(b), 那末 (a,b) ,使 f ( )=0 1 0 ( 1) 0 0 0 ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) ! ( ) ( ) + + = − + = − + n n n k n n x x n f x x n f x f x 拉氏中值定理 设 f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内 可导, 那末 (a,b) ,使
2.常用麦克劳林公式 e=∑ +0(x k=0 ! 2k+1 SII= ∑ +0(y2m+2 (2k+1)! cos= ∑(-1)4+4 +o(x 2n+1 (2k)! k +x)=∑(-1 +ox =∑ +0(x") 1 x) ∑|x2+x") (a-1)…(a-n+1) k K! 高等数学,( XAUAT)
高等数学（XAUAT） ( ) (2 1)! sin ( 1) 2 2 0 2 1 + = + + + = − n n k k k o x k x x ( ) (2 )! cos ( 1) 2 1 0 2 + = = − + n n k k k o x k x x ln(1 ) ( 1) ( ) 1 1 n n k k k o x k x + x = − + = − ! ( 1) ( 1) k n k − − + = (1 ) ( ) 0 n n k k x o x k x + + = = ( ) 1 1 0 n n k k x o x x = + − = ( ) ! 0 n n k k x o x k x e = + = 2. 常用麦克劳林公式
3,洛必达法则 (1)或一不定型 0 工 lim ∫(x) =l(或∞) x→g(x)x→2g(x) (2)0·∞,∞-0,0°,1°,∞0不定型 0 oo 0·∞三 o,一 1 2 0 2 n 10=ex In 0 In oo 0 ∞=cxp 0 0 高等数学,( XAUAT)
高等数学（XAUAT） （ ） 或 不定型 0 0 1 （2） 0 , − , 0 0 ,1 , 0 不定型 3. 洛必达法则 ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ? ? = = → → l 或 g x f x g x f x x x 0 1 1 0 0 = = = 0 1 ln exp 0 = 1 ln1 1 exp = 0 1 ln 0 0 exp 0 1 2 2 1 1 2 1 1 1 − − =
4.函数的单调性、凹凸性、极值与拐点 极值定义如果f(x0)是f(x)在x的某邻域内的唯一最大小值,那么 "就称(x)是(x)板大小)值,称是f(x)的一个极大小)值点; 极大值(点和极小值点)统称为极值点) 广单调性定理设函数=f(x)在ab上连续,在ab内可导,那么 (1)如果在(a,b)内∫(x)>0,则函数y=f(x)在a,b上单调增加 (2)如果在a,b内f(x)<0,则函数y=(x)在a1上单调减少 高等数学,( XAUAT)
高等数学（XAUAT） 如果在 内 ，则函数 在 上单调减少 如果在 内 ，则函数 在 上单调增加 设函数 在 上连续，在 内可导，那么 (2) ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] (1) ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] ( ) [ , ] ( , ) a b f x y f x a b a b f x y f x a b y f x a b a b = = 单调性定理 = 4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点 极大值 点 和极小值点 统称为极值点 ． 就 称 是 的极大 小 值，称 是 的一个极大小 值点； 如 果 是 在 的某邻域内的唯一最大小 值，那么 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 f x f x x f x 极值定义 f x f x x
5.函数图形性质的讨论 先求极值可疑点:驻点、不可导点(设为x1x2x3),再按下表判断 (x0,x1)x1(x1, (x2,X3) 3 (x3x4 ∫"(x) f"(x) ∫(x) 图形单增 (m/单减/无 极大 极值/单减极小 单增 x3) 高等数学,( XAUAT)
高等数学（XAUAT） 5. 函数图形性质的讨论 x (x0, x1) x1 (x1, x2) x2 (x2, x3) x3 (x3, x4) f (x) + - - + f (x) - + f (x) 图形 单增 极大 f ( x1) 单减 无 极值 单减 极小 f ( x3) 单增 先求极值可疑点：驻点、不可导点( 设为x1 ,x2 ,x3 ), 再按下表判断
6.,判定极值的充分条作 取极值必要条件若f(x)在x可导有极值,则x为/(x)的驻点 A极值可疑点:驻点(即使∫(x0)=0的点)、不可微点 极值第一充分条件设连续函数=f(x)在x的去心邻域可导,那么 如果在的左邻域(x)0,则(x)在取极小值 A(2)如果在x的左邻域(x)>0,右邻域(x)0,则(x)在x取极小值 (2)如果f"(x0)<0,则(x)在x取极大值 高等数学,( XAUAT)
高等数学（XAUAT） 若 f (x)在 0 x 可导有极值 , 则 0 x 为 f (x)的驻点 极值可疑点： 如果在 的左、右邻域 不变号，则 在 不取极值 如果在 的左邻域 ，右邻域 ， 则 在 取极大值 如果在 的左邻域 ，右邻域 ， 则 在 取极小值 设连续函数 在 的去心邻域可导，那么 0 0 0 0 0 0 0 (3) ( ) ( ) (2) ( ) 0 ( ) 0 ( ) (1) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) x f x f x x x f x f x f x x x f x f x f x x y f x x 极值第一充分条件 = 取极值必要条件 驻点（即使 f (x0 ) = 0的点）、不可微点 如 果 ， 则 在 取极大值 如 果 ， 则 在 取极小值 设函数 在驻点 的邻域二阶可导，那么 0 0 0 0 0 (2) ( ) 0 ( ) (1) ( ) 0 ( ) ( ) f x f x x f x f x x y f x x 极值第二充分条件 = 6. 判定极值的充分条件
7.最值问题 士求最值的步骤 A1建立目标函数 2.求最值可疑点:驻点、不可导点、边界点 王士 3.确定最值点 (1)求所有最值可疑点的函数值比较即知最值(点) (2)区间上可导函数的唯一极值点必是相应的最值点 (3)若知函数有唯一最值可疑点而由实际问题本身知函数的最 大(小)值一定存在,则该最值可疑点必是所求最大(小)值点 高等数学,( XAUAT)
高等数学（XAUAT） 2. 求最值可疑点：驻点、不可导点、边界点 (1) 求所有最值可疑点的函数值,比较即知最值(点) (2) 区间上可导函数的唯一极值点必是相应的最值点 求最值的步骤： 1. 建立目标函数 3. 确定最值点： (3) 若知函数有唯一最值可疑点, 而由实际问题本身知函数的最 大(小)值一定存在, 则该最值可疑点必是所求最大(小)值点 7. 最值问题
