第二节 第五章 微积分的基本公式 、引例 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿-莱布尼兹公式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼兹公式 一、引例 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 微积分的基本公式 第五章
引例 在变速直线运动中,已知位置函数s(t)与速度函数v() 之间有关系 物体在时间间隔[1,2内经过的路程为 v()dt=s(2)-s(71) 这里s(1)是v(t)的原函数 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
一、引例 在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间有关系: s (t) = v(t) 物体在时间间隔 内经过的路程为 ( )d ( ) ( ) 2 1 2 1 v t t s T s T T T = − 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
积分上限的函数及其导数 定理1.若f(x)∈C[a,b],则变上限函数 y=f(x) Φp(x)=f(dt Φ(x) 是f(x)在[a,b上的一个原函数 O 证:Vx,x+h∈[a,b],则有 a x bx d(x+h)-Φ(x)1 [∫。"f(dt=Jf(n+h h I cx+h f(t)dt=f(s)(x<5<x+h h ∵f(x)∈C[a,b Φ(x)=lim d(x+h)-Φ(x) lim f(s)=f(x) h 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
y = f (x) a b x o y (x) x x + h 二、积分上限的函数及其导数 则变上限函数 = x a (x) f (t)dt 证: x, x + h[a, b], 则有 h (x + h) −(x) h 1 = − + x a x h a f (t)dt f (t)dt + = x h x f t t h ( )d 1 = f () (x x + h) h x h x h ( ) ( ) lim 0 + − = → lim ( ) 0 f h→ (x) = = f (x) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理1. 若
说明: 1)定理1证明了连续函数的原函数是存在的同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 d rb 2)变限积分求导 f(tdt=-f(x) ardr d o(x) f(1)dt=f[(x)(x) dx d ro(x) d p(x) f(tdt f(t)dt+ f(tdt dxjy( dxl jy(x) flo(x)lo(x)-fly(xly'(x) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
说明: 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 2) 变限积分求导: ( ) ( )d d d x a f t t x = f [(x)](x) 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( ) ( ) ( )d d d x x f t t x = f [(x)](x) − f [(x)](x) + = ( ) ( ) ( )d ( )d d d x a a x f t t f t t x
dt 例1.求 lim Cost 解:原式=-mDex(-sinx)1 x->0 2e 例2.确定常数a,b,c的值,使 ar-sinx lim c(c≠0) 1->0cx n(+12)dt 0 解:∵x→0时,ax-sinx→>0,C≠0,b=0 a- cosr d- cosr 原式=1im lim 01n(1+x2) >0 C0,故a=1.又由 1-cosx 得 学 HIGH EDUCATION PRESS 说明目录上页下页返回结
( sin ) 2 cos e x x − − 例1. 求 解: 原式 0 lim → = − x 0 0 2x 2e 1 = 说明 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使 解: b = 0. 原式 = c ≠0 , 故 a =1. 又由 ～ , 得 . 2 1 c =
例3.设f(x)在[0,+∞)内连续,且f(x)>0,证明 tf(t)d F(x)=0 只要证 f(t)dt F"(x)>0 在(0,+∞)内为单调递增函数 ME:F()f(x)L(dtf(x)tf()dt f()d)2 (x)(x=0)/(dt(x)-(x-/(x 0 (Jo/(d)2 (∫n(dr)2 0<5<x) F(x)在(O,+∞)内为单调增函数 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
= f x t f t t x ( ) ( )d 0 − 例3. 证明 在 内为单调递增函数 . 证: ( ) 2 0 f (t)dt x x f x f t t x ( ) ( )d 0 ( ) 2 0 f (t)dt x f x f t t x ( ) ( )d 0 (x −t) 0 只要证 F(x) 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 = ( ) 2 0 f (t)dt x f (x) (x −) f () x (0 x)
三、牛顿-莱布尼兹公式 定理2.设F(x)是连续函数f(x)在{a,b上的一个原 b 函数,则「f(x)dx=F(b)-F(a)(牛顿莱布尼兹公式) 证:根据定理1,∫/x)是f(x)的一个原函数,故 F(x)=f(x)dx+C 令x=a,得C=F(a),因此「f(x)dx=F(x)-F(a 再令x=b,得 b 记作 f()dx= F(b)-F(a F(x]=F()b HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
三、牛顿 – 莱布尼兹公式 f (x)dx F(b) F(a) b a = − ( 牛顿 - 莱布尼兹公式) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 根据定理 1, 故 F x f x x C x a = + ( ) ( )d 因此 f (x)dx F(x) F(a) x a = − 得 记作 定理2. 函数 , 则
例计算1 3 dx 解: +r2 arctan arctan√3- arctan(-1) 丌、7 3412 例5.计算正弦曲线y=sinx在[0,x上与x轴所围成 的面积 y=sinx 解:A sinxdx 0 ccs50-[-1-1]-=2o 丌X HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例4. 计算 解: x x x arctan 1 3 d 1 2 = + − 1 3 − = arctan 3 − arctan(−1) 3 = 12 7 = 例5. 计算正弦曲线 的面积 . 解: = 0 A sin xdx = −cos x 0 = −[−1−1] = 2 ) 4 ( − − 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y o x y = sin x
例6.汽车以每小时36km的速度行驶,到某处需要减 速停车设汽车以等加速度a=-52刹车问从开始刹 车到停车走了多少距离? 解:设开始刹车时刻为t=0,则此时刻汽车速度 0=36(m)=3500(=10(m) 刹车后汽车减速行驶,其速度为 v()=V0+at=10-5t 当汽车停住时,v()=0,即10-5t=0,得t=2(s) 故在这段时间内汽车所走的距离为 S(d=(10-50)dt=[101-21]a=10(m) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 , 速停车, 解: 设开始刹车时刻为 则此时刻汽车速度 10( ) s ( )= m s m 3600 361000 = 刹车后汽车减速行驶 , 其速度为 当汽车停住时, 即 得 故在这段时间内汽车所走的距离为 = 2 0 s v(t)dt = − 2 0 (10 5t)dt 2 2 5 = 10t − t =10(m) 0 2 刹车, 问从开始刹 到某处需要减 设汽车以等加速度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 车到停车走了多少距离?
内容小结 1.微积分基本公式 设f(x)∈C[a,b],且F(x)=f(x),则有 f(x)dx=f(5(b-a)=F(S(b-a)=F(6)-F(a) 积分中值定理 微分中值定理 牛顿-莱布尼兹公式 2.变限积分求导公式 HIGH EDUCATION PRESS 公式目录上页下页返回结
内容小结 设 f (x)C[a,b], 且F(x) = f (x), 则有 1. 微积分基本公式 = f x x b a ( )d 积分中值定理 = F()(b − a) = F(b) − F(a) 微分中值定理 f ()(b − a) 牛顿 – 莱布尼兹公式 2. 变限积分求导公式 公式 目录 上页 下页 返回 结束