第1章 S1.9连续函数的运算与 初等函数的连续性 燕列雅权豫西王兰芳李琪
§ 1.9 连续函数的运算与 初等函数的连续性 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪 第1章
初等函数的连续性 由连续的定义可以证明,常函数、正弦函数、 余弦函数、指数函数在其定义域内都是连续的 定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差, 积,商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续 的函数.(利用极限的四则运算法则证明 例如,sinx,cosx连续 参tanx,cotx在其定义域内连续 定理2.连续单调递增(递减)函数的反函数也连续单 调递增(递减).(证明略)
tan x, cot x 在其定义域内连续 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , ( 利用极限的四则运算法则证明) sin x, cos x 连续 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续 例如, 初等函数的连续性 的函数 . 积 , 由连续的定义可以证明, 常函数、正弦函数、 余弦函数、指数函数在其定义域内都是连续的. 定理2. 连续单调递增 函数的反函数 调递增(递减). (证明略) (递减) 也连续单
例如,y=sinx在[-2,]上连续单调递增,其反 函数y= arcsinx在[-1,上也连续单调递增 又如,y=e在(-∞+∞)上连续单调递增,其 反函数y=hx在(0,+∞)上也连续单调递增 定理3.连续函数的复合函数是连续的.(证明略) 例如,y=sin是由连续函数链 y=sinu,u∈(-∞,+);s x∈R xX 复合而成,因此y=sin-在x∈R上连续 y=sin
定理3. 连续函数的复合函数是连续的. x y = e 在 (−, + ) 上连续单调 递增, 其 反函数 y = ln x 在 (0, + ) 上也连续单调递增. 又如, 例如, y = sin x 在 [ , ] 2 2 − 上连续单调递增，其反 函数 y = arcsin x 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增. (证明略) 例如, x y 1 = sin 是由连续函数链 y u u = − + sin , ( , ); , 1 x u = * xR 因此 x y 1 = sin 在 * 复合而成 , xR 上连续 . x y o x y 1 = sin
基本初等函数在定义区间内连续 一切初等函数 连续函数经四则运算仍连续 在定义区间内 连续函数的复合函数连续 连续 例如, y=√1-x2的连续区间为[1,11(端点为单侧连续) y= Isin x的连续区间为(2nx,(2n+1)),n∈Z 而y=√cosx-1的定义域为x=2nz,n∈Z 因此它无连续点
基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数 在定义区间内 连续 例如, 2 y = 1− x 的连续区间为 [−1,1] (端点为单侧连续) y = lnsin x 的连续区间为 (2n , (2n +1) ) , nZ y = cos x −1 的定义域为 x = 2n , nZ 因此它无连续点 而
例1求imga(1+x) x->0 解:原式= limosa(1+x)=lo0 x->0 例2.求m1 x-0 x 解:令t=a2-1,则x=log2(1+1) 原式=lim Ina 1→0loga(1+t) 于是,当a=e2x→>0时,我们有 In(1+x)x e=lx
例1. 求 . log (1 ) lim 0 x x a x + → 解: 原式 x x a x 1 limlog (1 ) 0 = + → e a = log ln a 1 = 例2. 求 . 1 lim 0 x a x x − → 解: 令 = −1, x t a 则 x log (1 t), = a + 原式 log (1 ) lim 0 t t a t + = → = ln a 于是，当 a = e, x → 0 时, 我们有 ln(1+ x) ~ −1 ~ x x e x