第八节、常系数齐次线性微分方程 教学目的:掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程,特征根,及对应 于特征根的三种情况,通解的三种不同形式。 教学重点:特征方程,特征根,及对应于特征根的三种情况,通解的三种不 同形式 教学难点:根据特征根的三种不同情况,得到三种不同形式的通解。 教学内容 形式 d +P(x)+Q(x)y=0 若 其中P(x),g(x)为常数,称之为二阶常系数齐次微分方程, 若2(x,Q(x)不全为常数(2)称之为二阶变系数齐次微分方程 解法 +py tay=0 将y=e”代入(3)中有(2+pr+9)e"=0,称r2+p+g=0为(3)的特征方 设,n2为(4)的解 (1)当≠即2-4>0时,y=C1+C2为其通解。 (2)当==即P2-4=0时,(3)只有一个解y=Ce。 (3)当”=a±6即p2-4<0时,有y=e“1是解。 利用欧拉公式可得实解,故通解为 y=e(C1 cos Bx+C? sin Bx) 求二阶常系数齐次线性微分方程 y+py+ay=0 的通解的步骤如下 1.写出微分方程(2)的特征方程 +pr+a=0 2.求出特征方程(3)的两个根、2 3.根据特征方程(3)的两个根的不同情形,按照下列表格写出微分方程(2)的通 特征方程2+p+q=0的两个跟巧2做分方程y”+Py+=0的通解 两个不相等的实根,2 = Cek +C
第八节、常系数齐次线性微分方程 教学目的：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应 于特征根的三种情况，通解的三种不同形式。 教学重点：特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不 同形式。 教学难点：根据特征根的三种不同情况，得到三种不同形式的通解。 教学内容： 一、形式 若 （2） 其中 为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程， 若 不全为常数(2)称之为二阶变系数齐次微分方程。 二、解法 记： （3） 将 代入（3）中有 ，称 为（3）的特征方 程。 设 为（4）的解。 （1）当 即 时， 为其通解。 （2）当 即 时，（3）只有一个解 。 （3）当 即 时，有 是解。 利用欧拉公式可得实解，故通解为 。 求二阶常系数齐次线性微分方程 （2） 的通解的步骤如下： 1． 写出微分方程（2）的特征方程 （3） 2． 求出特征方程（3）的两个根 、 。 3． 根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通 解： 特征方程 的两个跟 微分方程 的通解 两个不相等的实根
两个相等的实根1,z y=(C+C2x et 对共轭复根巧12=c±1A y=e (Cr cos Bx+C2 sin Bx) 例1求微分方程y”-2y-3y=0的通解 解所给微分方程的特征方程为 r2-2r-3=0 其根=-1,n2=5是两个不相等的实根,因此所求通解为 y=CHe+C +2=+s=0 例2求方程dt2at 满足初始条件SL-0=4,S=-2的特解。 解所给方程的特征方程为 其根==-1是两个相等的实根,因此所求微分方程的通解为 (C1+C2)e 将条件S-0=4代入通解,得C1=4,从而 (4+C2) 将上式对t求导,得 s 再把条件S=-2代入上式,得C2=2。于是所求特解为 (4+2) 例3求微分方程y"-2y+5y=0的通解 解所给微分方程的特征方程为 其根2=1±2 为一对共轭复根,因此所求通解为 e(Cocos 2x+C2 sin 2x) 例4在第八节例1中,设物体只受弹性恢复力了的作用,且在初瞬t=0时的位置为 x=,初始速度为边b0=1。求反映物体运动规律的函数x=x0 解由于不计阻力R,即假设d=,所以第八节中的方程(1)成为 +2x=0 方程(4)叫做无阻尼自由振动的微分方程。 反映物体运动规律的函数x=x()是满足微分方程(4)及初始条件 =Y0的特解 方程(4)的特征方程为r2+k2=0,其根r=垃k是一对共轭复根,所以方程 (4)的通解为 x=C1cosk+C2ink。 C1=x,C2=1 应用初始条件,定出 k。因此,所求的特解为
两个相等的实根 一对共轭复根 例1 求微分方程 的通解。 解 所给微分方程的特征方程为 其根 是两个不相等的实根，因此所求通解为 例2 求方程 满足初始条件 ， 的特解。 解 所给方程的特征方程为 其根 是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为 将条件 代入通解，得 ，从而 将上式对 求导，得 再把条件 代入上式，得 。于是所求特解为 例3 求微分方程 的通解。 解 所给微分方程的特征方程为 其根 为一对共轭复根，因此所求通解为 例4 在第八节例1中，设物体只受弹性恢复力 的作用，且在初瞬 时的位置为 ，初始速度为 。求反映物体运动规律的函数 。 解 由于不计阻力 ，即假设 ，所以第八节中的方程（1）成为 （4） 方程（4）叫做无阻尼自由振动的微分方程。 反 映 物 体 运 动 规 律 的 函 数 是 满 足 微 分 方 程 （ 4 ） 及 初 始 条 件 的特解。 方程（4）的特征方程为 ，其根 是一对共轭复根，所以方程 （4）的通解为 。 应用初始条件，定出 。因此，所求的特解为
x-20 k 为了便于说明特解所反映的振动现象,我们令 xo= Asin p,-=Acos (0s0,v>0) 函数(6)所反映的运动就是简谐振动。这个振动的振幅为A,初相为φ,周期为 k,角频率为k,由于m(见第八节例1),它与初始条件无关,而完全由 振动系统(在本例中就是弹簧和物体所组成的系统)本身所确定。因此,k又叫做系统 的固有频率。固有频率是反映是振动系统特性的一个重要参数 上面结果可扩展到n阶常系数微分方程。 例求 通解为y=C1+C2x+e(C3cos2x+C4sin2x)。 小结:本节讲述了二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程,特征根,及当 特征根形式不同时,通解具有不同形式
。 （5） 为了便于说明特解所反映的振动现象，我们令 于是（5）式成为 ， （6） 其中 。 函数（6）的图形如图12-14所示（图中假定 ）。 函数（6）所反映的运动就是简谐振动。这个振动的振幅为 ，初相为 ，周期为 ，角频率为 ，由于 （见第八节例1），它与初始条件无关，而完全由 振动系统（在本例中就是弹簧和物体所组成的系统）本身所确定。因此， 又叫做系统 的固有频率。固有频率是反映是振动系统特性的一个重要参数。 上面结果可扩展到 阶常系数微分方程。 例 求 。 通解为 。 小结：本节讲述了二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及当 特征根形式不同时，通解具有不同形式